б) Около правильной треугольной пирамиды SABC описан шар. Тангенс угла между плоскостью боковой грани SAB пирамиды и плоскостью её основания ABC равен 2 корня из 3. Найдите площадь поверхности шара, если высота основания пирамиды равна 3 корня из 3.
В правильной треугольной пирамиде центр описанного шара находится на высоте пирамиды в точке пересечения её срединным перпендикуляром к боковому ребру.
Также, тангенс угла β наклона бокового ребра к основанию в 2 раза меньше тангенса угла α наклона боковой грани к основанию.
Поэтому tg β = (1/2)*2√3 = √3.
sin β = tgβ /√(1 + tg²β) = √3/√(1 + 3) = √3/2.
Находим боковое ребро L.
Сначала находим высоту пирамиды H:
H = ((1/3)ho*tg α = (1/3)*3√3*2√3 = 6.
Тогда L = √(H² +((2/3)ho)²) = √(36 + (2√3)²) = √48 = 4√3.
Находим радиус R шара.
R = (L/2)/sin β = 2√3/(√3/2) = 4.
ответ:площадь поверхности шара равна 4πR² = 64π кв.ед.
В правильной треугольной пирамиде центр описанного шара находится на высоте пирамиды в точке пересечения её срединным перпендикуляром к боковому ребру.
Также, тангенс угла β наклона бокового ребра к основанию в 2 раза меньше тангенса угла α наклона боковой грани к основанию.
Поэтому tg β = (1/2)*2√3 = √3.
sin β = tgβ /√(1 + tg²β) = √3/√(1 + 3) = √3/2.
Находим боковое ребро L.
Сначала находим высоту пирамиды H:
H = ((1/3)ho*tg α = (1/3)*3√3*2√3 = 6.
Тогда L = √(H² +((2/3)ho)²) = √(36 + (2√3)²) = √48 = 4√3.
Находим радиус R шара.
R = (L/2)/sin β = 2√3/(√3/2) = 4.
ответ:площадь поверхности шара равна 4πR² = 64π кв.ед.