Антон и Боря получили одинаковый комплект задач на кружке. Известно, что оба мальчика каждую задачу приходили сдавать 2 , 3 или 5 раз. У преподавателя отмечено, что Антон приходил сдавать задачи 93 раз(-а), а Боря — 41 раз(-а). Могло ли такое быть? Если да, сколько задач было на кружке? ( начисляются только за полностью верный ответ!)
ответ:
21
22
19
23
20
18
Нет, такого быть не могло
Пусть x овощей имеют массу меньше 1000, y - больше 1000, а z - ровно 1000.
а) Предположим, что да. Тогда справедливо уравнение:
б) Предположим, что это возможно. Тогда x+y+13=65 ⇔ x+y=52. Аналогично строим уравнение:
, получили противоречие: x должно быть целым числом.
в) Понятно, что минимальная масса встречается только в группе, где расположены овощи массой меньше 1000 г. Обозначим массу самого легкого за
; Пусть масса оставшихся в этой же группе овощей суммарно равна 
; Тогда 
; Заметим, что 
; Поэтому 
(*);
Теперь рассмотрим уравнение
, значит x кратно 4. Пусть 
;
Рассмотрим другое уравнение:
; Отсюда получаем, что 
;
Возвратимся к (*):
; Приведем пример при котором осуществима оценка:
Пусть в первой группе 1 овощ весит 387 граммов, а остальные 35 весят по 999 граммов. Во второй группе 2 овоща весят по 1000 граммов. А в последней группе 27 овощей весят 1024 грамма.
ответ: а) нет
б) нет
в) минимально возможная масса - 387 граммов