По условию, существуют натуральные числа a и b такие, что N=a², 4N=b³.
Из последнего равенства следует, что число b четно. Но тогда число b³ делится на 8. Следовательно, число 4N тоже делится на 8, значит, и N четно. Раз N четно, значит, и число a четно, но тогда число a² делится на 4, то есть, само N делится на 4. Тогда существует натуральное число c такое, что N=4c. Выражая во втором равенстве N через c, получим 16c=b³. Если бы число b не делилось на 4, правая часть не делилась бы на 16, что невозможно. Значит, число b делится на 4, а число b³ делится на 4³=64. Тогда число 4N также делится на 64, а число N делится на 16, что и требовалось.
Чтобы найти НОД чисел, нужно перемножить их общие множители (подчёркнуты и выделены):
а) множители одного числа: 2 * 2 * 3 * 5 * 7 * 19
множители другого числа: 2 * 3 * 3 * 7 * 11 * 13
НОД = 2 * 3 * 7 = 42
б) 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 * 7 * 11 * 11 * 19 - множители одного числа
2 * 2 * 3 * 3 * 11 * 11 * 19 * 19 * 19 * 19 - множители другого числа
НОД = 2 * 2 * 3 * 11 * 11 * 19 = 27 588
в) 2 * 2 * 5 * 7 - множ. одного числа
2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 11 - множ. другого числа
НОД = 2 * 2 * 5 = 20
г) 3 * 3 * 11 * 13 - множ. одного числа
3 * 3 * 3 * 11 * 11 * 17 - множ. другого числа
НОД = 3 * 3 * 11 = 99
Из последнего равенства следует, что число b четно. Но тогда число b³ делится на 8. Следовательно, число 4N тоже делится на 8, значит, и N четно. Раз N четно, значит, и число a четно, но тогда число a² делится на 4, то есть, само N делится на 4. Тогда существует натуральное число c такое, что N=4c. Выражая во втором равенстве N через c, получим 16c=b³. Если бы число b не делилось на 4, правая часть не делилась бы на 16, что невозможно. Значит, число b делится на 4, а число b³ делится на 4³=64. Тогда число 4N также делится на 64, а число N делится на 16, что и требовалось.