(60 )на листке написаны несколько натуральных чисел. известно, что для любых двух найдется на листке число, которое на каждое из них делится. докажите, что на листке найдется число, которое делится на все числа.

P(x;y)dx+Q(x;y)dy

является полным дифференциалом, если

∂P/∂y=∂Q/∂x.

∂P/∂y=((x+y)/(xy))`y=((x+y)`y·(xy)–(xy)`y·(x+y))/(xy)2= –x2/(xy)2= – 1/y2

∂Q/∂x=(1/y2)·(y–x)`x=(1/y2)·(–1)=–1/y2

∂P/∂y=∂Q/∂x

Данное уравнение – уравнение в полных дифференциалах

Это значит

∂U/∂x=P(x;y)

∂U/∂y=Q(x;y)

Зная, частные производные можем найти U(x;y)

U(x;y)= ∫ (∂U/∂x)dx= ∫ P(x;y)dx= ∫ (x+y)dx/(xy)=

=(1/y) ∫ (x+y)dx/x=(1/y) ∫ (1+(y/x))dx=(1/y)·x+(1/y)·yln|x|+ φ (y)=

=(x/y)+ln|x|+ φ(y)

Находим

∂U/∂y= ((x/y)+ln|x|+ φ(y))`y=x·(1/y)`+0+ φ `(y)= (–x/y2)+φ `(y)

Так как

∂U/∂y=Q(x;y)

то

(–x/y2)+φ `(y) =(y–x)/y2;

⇒

φ `(y)=1/y

φ(y)=ln|y|+C

U(x;y)=(x/y)+ln|x|+ φ(y)=(x/y)+ln|x|+ln|y|+C

О т в е т.U(x;y)=(x/y)+ln|x·y|+C

ответ: 4, 7, 13.

Пошаговое объяснение:

1) 24 : 3 = 8 (ябл.) — стало у каждого брата;

2) 8 • 2 = 16 (ябл.) — было у старшего брата до того, как он поделился яблоками;

3) 8 : 2 = 4 (ябл.) — по столько дал старший брат младшему и среднему;

4) 8 - 4 = 4 (ябл.) — по столько было у среднего и младшего до того, как поделился старший брат;

5) 4 • 2 = 8 (ябл.) — было у среднего брата до того, как он поделился яблоками;

6) 4 : 2 = 2 (ябл.) — дал средний брат старшему и младшему;

7) 16 - 2= 14 (ябл.) — было у старшего брата до того, как поделился средний;

8) 4 - 2 = 2 (ябл.) — было у младшего брата до того, как поделился средний;

9) 2 • 2 = 4 (ябл.) — было у младшего брата изначально;

10) 2 : 2 = 1 (ябл.) — дал младший брат старшему и среднему;

11) 14 - 1 = 13 (ябл.) — было у старшего изначально;

12) 8 - 1 = 7 (ябл.) — было у среднего брата изначально.