5. На олимпиаде Вася написал решения только первых двух задач. За первую можно было получить любое число от 0 до 4, за вторую - от 0 до 6. (a) Сколькими Вася может получить за эти задачи (б) Сколько вариантов суммы , которую может получить Вася? ответьте
{ b₁*q^(n-1) =1/6 ; b₁/(1-q) =16/3 ⇒q^(n-1)(1-q) =1/32
(одно условие не использую )
q =1/2 ; n =5 удовл . (существует ли другие решения ?)
b₁(1-q) =16/3 ⇒ b₁ = 8/3 ;
8/3 ;4/3;;2/3;1/3; b₅ =1/6 ;1/12; 1/24;
ответ :5
Проверка :
S₁= 8/3 +4/3 +2/3 +1/=(8+4+2+1)/3 =15 /3=5 ;
S₂ =(1/12)/(1-1/2) =1/6 ;
S₁/S₂ = 5 : 1/6 =30 .
Пусть члену равному 1/6 предшествует n членов ,тогда сумма всех членов стоящих до него будет S₁ = b₁(1-q^n)/(1-q) ,а сумма всех членов стоящих после него будет S₂ =(q/6)/(1-q) =q/(6(1-q)) [ они тоже составляют беск. убыв. прогр. с первым членом 1/6*q =q/6 ].
Можно написать систему :
{ S=16/3 ; S₁/S₂ = 30 ⇔ { b₁/(1-q) =16/3 ; b₁(1-q^n)/(1-q) : (q/(6(1-q)) =30 .
16/3*(1-q)*(1-q^n)/(1-q)*6(1-q)/q =30 ⇒ (1-q^n)*(1-q)/q =15/16.
1) Аня могла бы вырезать все снежинки за 6 часов. А за 1 час 1/6 часть.
Катя могла бы вырезать все снежинки, пусть за x часов.
А за 1 час 1/x часть.
А вместе они вырезали все снежинки за 3,75 часа.
А за 1 час 1/3,75 = 100/375 = 4/15 всей работы.
1/6 + 1/x = 4/15
(5x + 30)/(30x) = 4*2x/(30x)
Знаменатели равны, значит и числители равны
5x + 30 = 8x
x = 10 часов.
2) Олег за 1 мин окучит 1/8 часть грядки, Антон 1/12, а Ира 1/24.
Вместе они за 1 мин окучат
1/8 + 1/12 + 1/24 = 3/24 + 2/24 + 1/24 = 6/24 = 1/4 часть грядки.
Всю грядку они окучат за 4 минуты.
3) Мастер за 1 час может сделать 1/4 часть работы.
Ученик, допустим, 1/x часть.
А вместе они за 1 час сделали 1/2,4 = 10/24 = 5/12 часть.
1/4 + 1/x = 5/12
3x/(12x) + 12/(12x) = 5x/(12x)
3x + 12 = 5x
x = 6 часов.