40
1. в множестве {1,) выбрано подмножество а из 84 элементов. никакие
два его элемента не в сумме 169. докажите, что хотя бы один из элементов
множества а является точным квадратом.
2. дан квадрат abcd. м - внутренняя точка отрезка bc, n - внутренняя точка
отрезка cd. известно, что man = 45'. докажите, что центр описанной
окружности треугольника amn лежит на прямой ас.
3. пусть a, b, c, d, е - различные вещественные числа. сколько различных
вещественных
корней
может
иметь
уравнение
(х - b)(х - с)(х - d)(x-e) + (х - а)(х - с)(х - d)(х - e) + (х - а)(х-
b)(x-d)(x-e) + (х - а)(х - b)(х - с)(х - e) + (-а)(х - b)(х - с)(х -
d) = 0
ответ: 6 см и 8 см
Пошаговое объяснение: Примем одну сторону прямоугольника х, тогда вторая – 14-х.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. ⇒
х•(14-х)=48, откуда после нескольких действий получим х²-14х+48=0. По т. Виета х₁+х₂=14, х₁•х₂=48. Число 14 можно разложить на 7 и 2, но тогда 7•2≠48. следовательно, стороны прямоугольника 6 и 8 (сумма 14, их произведение 48)
По т.Виета сумма корней в приведенном квадратном уравнении
x²+p⋅x+q=0
будет равна коэффициенту при x, который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е.
x₁+х₂= -p,
x₁•x₂=q