4. В пруд пустили 30 щук, которые стали кушать друг друга. Щука считается сытой, если она съела хотя бы трёх щук. Какое наибольшее количество щук могло насытиться, если съеденные сытые щуки при подсчёте тоже учитываются?
5. У каждого из 222 шестиклассников на Малом Мехмате не более двух близких приятелей. Оказавшись в одном помещении, два близких приятеля начинают непрерывно болтать, и всякая работа в этом помещении прекращается. Какое наименьшее число аудиторий необходимо иметь Евгению Александровичу, чтобы обеспечить бесперебойную работу всей параллели 6 класса?
6. На старт «Весёлого забега» на 3000 м выходит команда из трёх математиков. Им выдается один одноместный самокат. Дорожка прямая, стартуют все одновременно, а в зачёт идет время последнего пришедшего на финиш. Какое минимальное возможное время прохождения дистанции, если бегают все трое со скоростью 125 м/мин, а на самокате ездят со скоростью 250 м/мин?
7. На какое наибольшее количество разных прямоугольников можно разрезать по линиям сетки:
а) прямоугольник 5×6 клеточек;
б) прямоугольник 12×6 клеточек;
в) прямоугольник 2×36 клеточек?
8. Сколько (минимум, максимум, а как в промежутке между минимумом и максимумом) клеток можно отметить на доске 8×8 так, чтобы в каждом квадрате 3×3 была ровно одна отмеченная клетка?
9. 23 шестиклассника пришли на занятия Малого Мехмата и повесили свои куртки в гардероб без номерков. После занятий все расходились по очереди, хватая первую попавшуюся куртку, которая была больше по размеру или подходила ему. В итоге несколько человек остались с куртками, которые на них не налезали. Сколько максимум таких человек могло остаться?

Відповідь:

редположим, что количество заготавливаемых дров - 1 поленница.

И колка дров продолжается без перерывов на обед и на сон..))

В том случае, разумеется, если под словом "день" подразумеваются сутки.

Скорость колки дров Матроскиным:  v₁ = 1/11 (поленницы в день)

Скорость колки дров Шариком:           v₂= 1/9 (поленницы в день)

Скорость колки дров вместе:

             v = v₁+v₂ = 1/11 + 1/9 = 9/99 + 11/99 = 20/99 (поленницы в день)

Таким образом, если Матроскин и Шарик будут колоть дрова вместе, то заготовка дров займет:

             t = 1 : 20/99 = 99/20 = 4,95 (сут.) = 4 суток 22 ч 48 мин ≈ 5 (дн.)    

ответ: ≈ 5 дней

Покрокове пояснення:

вроде так

Пошаговое объяснение:

Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.

На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.

Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:

Приближенное вычисление определенного интеграла с разложения подынтегральной функции в ряд

Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл  численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и  появилась типовая задача курса высшей математики.

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001

Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).

Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту рас на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.

Используем табличное разложение:

В данном случае  

Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.

Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с ряда).

Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.

Теперь второй этап решения:

Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:

Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена  в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .

На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:

Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.

После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:

Интегралы здесь на этом я не останавливаюсь.

На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.

Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:

Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений?  Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .

ответ: , с точностью до 0,001

Что это получилось за число с геометрической точки зрения?   – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеберущимся, правда, решение не самое