3. запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: а) 0,(15) б) 7,1(7)

Показать ответ

Ответ:

2маша

03.04.2020 05:57

Дано:
$y = \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} }$ ;

Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1) Функция определена при любых аргументах.

D(f) ≡ R ≡ $( -\infty ; +\infty )$ ;

2) Функция не является ни чётной, ни нечётной. Докажем это:

$y(-x) = \sqrt[3]{ (-x)^2 } e^{ -\frac{-x}{3} } = \sqrt[3]{ x^2 } e^{ \frac{x}{3} }$ ;

$y(-x)/y(x) = \frac{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ \frac{x}{3} } }{ \sqrt[3]{ x^2 } \exp{ ( -\frac{x}{3} ) } } = \frac{ \exp{ \frac{x}{3} } }{ \exp{ -\frac{x}{3} } } = \exp{ \frac{x}{3} } \exp{ \frac{x}{3} } = \exp{ \frac{2x}{3} }$ ≠ ± 1 при любых аргументах ;

≠ ± 1 ;

Найдём первую производную функции y(x) :

$y'(x) = ( \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } )' = ( x^\frac{2}{3} e^{ -\frac{x}{3} } )' = \frac{2}{3} x^{ -\frac{1}{3} } e^{ -\frac{x}{3} } + x^\frac{2}{3} ( -\frac{1}{3} ) e^{ -\frac{x}{3} } =$

$= \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{3} ( \frac{2}{x^\frac{1}{3} } - x^\frac{2}{3} ) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 x^{1/3} } ( 2 - x )$ ;

$y'(x) = \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x )$ ;

При x = 0, производная y'(x) – не определена, хотя сама функция определена при любых аргументах, так что функция непрерывна на всей числовой прямой, но непрерывно-дифференцируема за исключением ноля.

Убедимся в этом, вычислив предел около ноля слева и справа

$\lim_{x \to -0} y(x) = \lim_{x \to -0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (-0)^2 } e^{ -\frac{-0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0$ ;

$\lim_{x \to +0} y(x) = \lim_{x \to +0} \sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = \sqrt[3]{ (+0)^2 } e^{ -\frac{0}{3} } = \sqrt[3]{0} e^{0} = 0*1 = 0$ ;

3) Функция определена при любых x, поэтому точек разрыва нет.

Если приравнять функцию к нолю, получим:

y(x) = 0

;

$\sqrt[3]{x^2} e^{ \frac{x}{3} } = 0$ ;

Что возможно только при $\sqrt[3]{x^2} = 0$ , т.е. при x = 0 ;

Итак, точка ( 0 ; 0 ) – принадлежит нашему графику.

4. Найдем асимптоты y(x).

Точек разрыва нет, значит, нет и вертикальных асимптот.

Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± $\infty$ :

$\lim_{x \to -\infty} y(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } =$

$= \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } } e^{ \frac{-x}{3} } = \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{ (-x) } + \frac{-x}{3} } =$

$= \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} ( 1 + \frac{ 2 \ln{ (-x) } }{ -x } ) } \lim_{x \to -\infty} e^{ \frac{-x}{3} } = +\infty$ ;

$\lim_{x \to -\infty} y(x) = +\infty$ ;

$\lim_{x \to +\infty} y(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \ln{ \sqrt[3]{x^2} } } e^{ -\frac{x}{3} } =$

$= \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} } e^{ -\frac{x}{3} } = \lim_{x \to +\infty} e^{ \frac{2}{3} \ln{x} - \frac{x}{3} } =$

$= \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} ( 1 - \frac{ 2 \ln{x} }{x} ) } < \lim_{x \to +\infty} e^{ -\frac{x}{3} } \leq 0$ ;

Поскольку, $\lim_{x \to +\infty} y(x) \geq 0$ , то:

$\lim_{x \to +\infty} y(x) = 0$ ;

Значит, уходя на отрицательную бесконечность аргумента y(x) и сама стремиться к бесконечности, а уходя на положительную бесконечно по аргументу y(x) стремится к нулю ;

Из этого следует, что при x>0 есть горизонтальная асимптота y = 0 .

Чтобы найти наклонную асимптоту, найдем предел первой производной на отрицательной бесконечности по аргументу:

$\lim_{x \to -\infty} y'(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( 2 - x ) \lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x )$ ;

$\lim_{x \to -\infty} \frac{ e^{ -\frac{x}{3} } }{ 3 \sqrt[3]{x} } ( - x ) = \lim_{x \to -\infty} ( -\frac{1}{3} \sqrt[3]{x^2} e^{ -\frac{x}{3} } ) = -\infty$ – по доказанному в пределе самой функции .

$\lim_{x \to -\infty} y'(x) = -\infty$ ;

А это означает, что наклонной асимптоты на отрицательной бесконечности нет. А на положительной – горизонтальная.

Построить график функции y = 2*∛(x²) * e^(-x/3) по следующему алгоритму: 1) область определения функ

Построить график функции y = 2*∛(x²) * e^(-x/3) по следующему алгоритму: 1) область определения функ

0,0(0 оценок)

Ответ:

Nicol03

29.06.2022 19:44

Решение:
В осевом сечении конуса, являющимся равнобедренным прямоугольным треугольником, нижний катет является радиусом.
А так как этот прямоугольный треугольник является равнобедренным, то его высота, которая является и высотой конуса равна радиусу.
Следовательно площадь треугольника равна: S=a*h/2
в нашем случае S=R*R/2 или:
36=R*R/2
36=R²/2
36*2=R²
78=R²
R=√78=√(36*2)=6√2
Объём конуса находится по формуле:
V=1/3*π*R²h
Нам известен:
R=6√2
h=R=6√2
Отсюда:
V=1/3*3,14*(6√2)² *6√2=1/3*3,14*78*6√2=489,84√2

ответ: V=489,84√2
Можно округлить: V=489,8√2
или: V=490√2

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика