2) На ожидаемый с большим интересом футбольный матч болель кам футбольной команды было продано 200 билетов по одинаково
цене. Для заблаговременного распределения билетов было уплачен
5000 манат, в кассу затем внесли 25 000 манатов. Во сколько обошело
один билет болельщикам?​

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней;

Имеют ровно один корень;

Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант. Дискриминант Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 − 4ac.Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D < 0, корней нет;

Если D = 0, есть ровно один корень;

Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

x2 − 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:

a = 1, b = −8, c = 12;

D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16 Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:

a = 5; b = 3; c = 7;

D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:

a = 1; b = −6; c = 9;

D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.Дискриминант равен нулю — корень будет один.Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.Корни квадратного уравнения Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:Формула корней квадратного уравнения Основная формула корней квадратного уравнения Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Доказать, что

а^2+1/2 ≥ a.

Доказательство:

Первый

Оценим разность:

(а^2+1/2) - a = а^2 - a + 1/2 = а^2 - 2•a•1/2 + 1/4 - 1/4 + 1/2 = (а - 1/2)^2 - 1/4 + 2/4 = (а - 1/2)^2 + 1/4 ;

Так как

(а - 1/2)^2 ≥ 0 при любом значении а, то и

(а - 1/2)^2 + 1/4 ≥ 1/4 ≥ 0.

Так как разность неотрицательна, то по определению

а^2+1/2 ≥ a при любых значениях а.

Неравенство доказано.

Второй

а^2+1/2 ≥ a

а^2 - a + 1/2 ≥ 0

Рассмотрим функцию

у = а^2 - a + 1/2 - квадратичная, графиком является парабола.

Т.к. старший коэффициент равен 1, 1>0, то ветви параболы направлены вверх.

D = 1 - 4•1•1/2 = 1 - 2 = - 1 < 0, то

функция нулей не имеет, парабола не пересекает ось абсцисс, а поэтому

у > 0 при всех значениях а,

а^2 - a + 1/2 > 0 при любом а, следовательно, и а^2 - a + 1/2 ≥ 0, неравенство а^2+1/2 ≥ a доказано.