Пусть x овощей имеют массу меньше 1000, y - больше 1000, а z - ровно 1000.
а) Предположим, что да. Тогда справедливо уравнение:
, но x очевидно не может быть нулем, т.к. среднее арифметическое больше нуля. Противоречие.
б) Предположим, что это возможно. Тогда x+y+13=65 ⇔ x+y=52. Аналогично строим уравнение: , получили противоречие: x должно быть целым числом.
в) Понятно, что минимальная масса встречается только в группе, где расположены овощи массой меньше 1000 г. Обозначим массу самого легкого за ; Пусть масса оставшихся в этой же группе овощей суммарно равна ; Тогда ; Заметим, что ; Поэтому (*);
Теперь рассмотрим уравнение , значит x кратно 4. Пусть ;
Рассмотрим другое уравнение: ; Отсюда получаем, что ;
Возвратимся к (*): ; Приведем пример при котором осуществима оценка:
Пусть в первой группе 1 овощ весит 387 граммов, а остальные 35 весят по 999 граммов. Во второй группе 2 овоща весят по 1000 граммов. А в последней группе 27 овощей весят 1024 грамма.
Ведём обозначения: - высота пирамиды Н, - сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a, - боковое ребро равно b. Пусть PM — высота Н правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF (рисунок дан в приложении), r — искомый радиус. Поскольку пирамида правильная, центр Q её вписанной сферы лежит на прямой PM, точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах, а точка касания сферы с основанием совпадает с точкой M. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM и середину K стороны AB основания ABCD . Получим равнобедренный треугольник PKL (L — середина DE) и вписанную в него окружность радиуса rс центром на высоте PM. Центр Q этой окружности лежит на биссектрисе KQ угла PKM прямоугольного треугольника PKM, а QM = r. Из прямоугольных треугольников PMA и PKA находим, что PM = √(AP² − AM²) = √(b² - а²),PK = √(AP² − AK²) = √(b² − (а/2)²)2 = √(4b² - а²)/2. По свойству биссектрисы треугольника QM / QP = KM / KP , поэтому QM / PM = KM /( KM + KP). Следовательно,r = QM = PM · (KM /( KM + KP)) = √(b² − a²)* · ((a√3/2)/((a√3/2) + (√4b² - a²)/2))2 = =( a√3*√(b² − a²) / (a√3 + √(4b² − а²)).
На основании исходных данных определяем сторону а основания.Сторона а равна половине диагонали АD (это радиус описанной окружности) : а = √(b² - Н²) = √(100 - 36) = √64 = 8. Подставив значения a и b в полученную формулу, находим радиус вписанного в пирамиду шара. r = (8√3*√(100-64))/(8√3+√(4*100-64)) = 48√3/(8√3+4√21) = = 48√3/(8√3+4√3*√7) = 48√3/(4√3(2+√7)) = 12/(2+√7) = = 12(2-√7)/((2+√7)(2-√7)) = 12(2-√7)/(4-7) = -4(2-√7) = 4√7-8 ≈ ≈ 2,583005.
Пусть x овощей имеют массу меньше 1000, y - больше 1000, а z - ровно 1000.
а) Предположим, что да. Тогда справедливо уравнение:
б) Предположим, что это возможно. Тогда x+y+13=65 ⇔ x+y=52. Аналогично строим уравнение:
, получили противоречие: x должно быть целым числом.
в) Понятно, что минимальная масса встречается только в группе, где расположены овощи массой меньше 1000 г. Обозначим массу самого легкого за
; Пусть масса оставшихся в этой же группе овощей суммарно равна 
; Тогда 
; Заметим, что 
; Поэтому 
(*);
Теперь рассмотрим уравнение
, значит x кратно 4. Пусть 
;
Рассмотрим другое уравнение:
; Отсюда получаем, что 
;
Возвратимся к (*):
; Приведем пример при котором осуществима оценка:
Пусть в первой группе 1 овощ весит 387 граммов, а остальные 35 весят по 999 граммов. Во второй группе 2 овоща весят по 1000 граммов. А в последней группе 27 овощей весят 1024 грамма.
ответ: а) нет
б) нет
в) минимально возможная масса - 387 граммов
- высота пирамиды Н,
- сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a,
- боковое ребро равно b.
Пусть PM — высота Н правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF (рисунок дан в приложении), r — искомый радиус.
Поскольку пирамида правильная, центр Q её вписанной сферы лежит на прямой PM, точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах, а точка касания сферы с основанием совпадает с точкой M. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PM и середину K стороны AB основания ABCD . Получим равнобедренный треугольник PKL (L — середина DE) и вписанную в него окружность радиуса rс центром на высоте PM.
Центр Q этой окружности лежит на биссектрисе KQ угла PKM
прямоугольного треугольника PKM, а QM = r.
Из прямоугольных треугольников PMA и PKA находим, что
PM = √(AP² − AM²) = √(b² - а²),PK = √(AP² − AK²) = √(b² − (а/2)²)2 = √(4b² - а²)/2. По свойству биссектрисы треугольника QM / QP = KM / KP , поэтому QM / PM = KM /( KM + KP).
Следовательно,r = QM = PM · (KM /( KM + KP)) = √(b² − a²)* · ((a√3/2)/((a√3/2) + (√4b² - a²)/2))2 =
=( a√3*√(b² − a²) / (a√3 + √(4b² − а²)).
На основании исходных данных определяем сторону а основания.Сторона а равна половине диагонали АD (это радиус описанной окружности) : а = √(b² - Н²) = √(100 - 36) = √64 = 8.
Подставив значения a и b в полученную формулу, находим радиус вписанного в пирамиду шара.
r = (8√3*√(100-64))/(8√3+√(4*100-64)) = 48√3/(8√3+4√21) =
= 48√3/(8√3+4√3*√7) = 48√3/(4√3(2+√7)) = 12/(2+√7) =
= 12(2-√7)/((2+√7)(2-√7)) = 12(2-√7)/(4-7) = -4(2-√7) = 4√7-8 ≈ ≈ 2,583005.