1. Задано функцію y=-4x^2+6x-3 Вкажіть найбільше значення функції.
2. Відомо модуль вектора |a|=2|b|=1, кут між векторами а i b = 120
Обчисліть скалярний добуток (a+2b)(a-b).
3. Потяг, рухаючись з запланованою швидкістю v , був затриманий на 4 години у пункті,
віддаленому від пункту призначення на 480 км. Щоб прибути в пункт призначення за
зрафіком, машиніст збільшив заплановану швидкість на 20 км/год. Знайдіть заплановану
швидкість v (у км/год).
4. Центр кола, яке дотикається до катетів прямокутного трикутника, належить гіпотенузі
цього трикутника. Знайдіть радіус кола (у см), якщо його центр ділить гіпотенузу на
відрізки завдовжки 15 см і 20 см.
1)
х^2 -5x=0
x(x-5)=0
произведение =0 , если один из множителей =0
х₁=0
х-5=0
х₂=5
х^2 -0.49 =0
x^2 - 0.7^2 =0
(x-0.7)(x+0.7)=0
x-0.7=0
x₁=0.7
x+0.7=0
x₂=-0.7
x^2 -5x +6=0
D= (-5)^2 -4*1*6= 25- 24=1
x₁= (5-1) / (2*1) = 4/2=2
x₂= (5+1)/2 = 6/2 =3
2)
3x^2 +5x+8=0
D = 5^2 - 4*3*8 = 25-96= -71
D<0 нет вещественных корней
49х^2 -28x+4 = 0
D= (-28)^2 - 4*49*4 = 784-784=0
D=0 - один корень уравнения
х= 28/(2*49) = 14/49 = 2/7
-2х^2-7x +9 = 0
D= (-7)^2 -4*(-2)*9= 49 + 72= 121=11^2
x₁= (7-11)/ ( 2*(-2))= -4/-4=1
x₂= (7+11) / (-4) =18/(-4)= -4.5
3)
(3x-5)(x+2) = (x+4)^2 -28
3x^2 +6x -5x-10= (x^2 +2*4*x +4^2 ) -28
3x^2 +x -10 = x^2 +8x -12
3x^2 +x -10 -x^2-8x +12 =0
2x^2 -7x +2 =0
D= 49 - 4*2*2 = 49-16 = 33
x₁= (7-√33)/ (2*2) = (7-√33)/4
x₂= (7+√33)/4
5) 3x^2-bx-14=0
x₁=7 ⇒
3* 7^2 - 7b -14=0
147 - 7b -14=0
133-7b =0
-7b = -133
b= (-133) /(-7)
b=19
3x^2 - 19x-14=0
D= (-19)^2 -4*3*(-14) = 361 + 168=529= 23^2
x₁= (19+23)/ (2*3) = 42/6 =7
x₂= (19 - 23 ) / (2*3) = -4/6 = -1/3
5)
Ширина - а см , длина - (а+2) см.
Площадь:
a (a+2) =24
а^2 +2a -24 =0
D= 2^2 -4*1*(-24) = 4 + 96=100 =10^2
a₁= (-2-10) / (2*1) = -12/2= -6 не удовл. условию задачи
а₂= (-2+10) / 2 =8/2 = 4 (см) ширина
4+2=6 (см) длина
Диагональ:
d= √(4²+6²) = √52= √(4*13) = 2√13 см
ответ: d=2√13 см
В2.
1.
2x^2-3x=0
x(2x-3)=0
x₁=0
2x-3=0
2x=3
x=3/2
x₂=1.5
x^2-0.25=0
x^2 =0.25
x=√0.25
x₁= 0.5
x₂=-0.5
x^2-7x+12=0
D= 49 - 4*1*12 = 49-48=1
x₁= (7-1)/2 = 6/2=3
x₂= (7+1)/2 = 8/2=4
2)
2x^2+7x+9=0
D= 49 - 4*2*9= 49-72=-23
D<0 нет вещественных корней
25x^2+30x+9=0
D= 30^2 -4*25*9 = 900 - 900=0
D=0 один корень
х= (-30)/ (2*25) = -30/50=-0,6
-3х^2 -5x+8=0
D= 25 - 4 *8 *(-3)= 25+96=121=11^2
x₁= (5-11)/ (2*(-3)) = -6/-6=1
x₂= (5+11) / (-6) = - 16/6 = -8/3 = -2 2/3
3)
(3x-7)(x+1) = (x+3)^2 -18
3x^2 +3x -7x -7 = x^2 +2*3*x +3^2-18
3x^2-4x-7= x^2 +6x -9
3x^2 -4x -7-x^2-6x+9=0
2x^2 -10x +2=0
D= 100 - 16 =84
x₁= (10-√84) / 4 = (10 -2√21)/4 = (5-√21)/2
x₂= (5+√21)/2
4)5x^2+bx-18=0
x₁= 9
5*9^2 +9b -18=0
405+9b -18=0
387 +9b=0
9b= -387
b= -43
5x^2 -43x -18=0
D= 1849 - 4*5*(-18) = 1849+360=2209=47^2
x₁= (43+47)/ (2*5) = 90/10=9
x₂= (43-47) /(2*5) = -4/10=-0.4
5)
Один катет - х см
Второй катет - (х-7) см
Гипотенуза - (х+2) см
(х+2)^2 = x^2 + (x-7)^2
х^2 +4x +4 = x^2 +x^2 -14x +49
2x^2 -14x +49 -x^2 -4x-4=0
x^2 -18x +45=0
D= 324 - 180 = 144= 12^2
x₁= (18-12)/2 = 6/2 =3 - не удовл. условию задачи
x₂= (18+12)/2 = 30/2= 15 (см) один катет
Периметр:
Р = 15+ (15-7) + (15+2) = 15+8+17=40 см
ответ: Р=40 см
В задачах обычно просят всё же найти значение параметра, при котором будут выполняться какие-то условия, например, уравнение будет иметь столько-то корней, решением неравенства будет интервал какой-то длины и так далее.
У нас есть задача. Есть неравенство. b- здесь параметр. Спрашивается, при каких b неравенство выполняется для любых x. Просто представьте себе. Вместо b мы подставляем нужные значения, получаем обычное неравенство относительно x, решением которого будут все числа. Вот такие b нам и надо отыскать. Такие числа, при которых полученное "нормальное" неравенство будет иметь решением все числа. Кстати, обратите внимание, что если вместо b мы будем подставлять какие-либо значения будут получаться различные неравенства каждый раз, имеющие свои решения и свои свойства. Вот нам надо отыскать такие b, при подстановке которых получается то неравенство, о котором спрашивается. Думаю, теперь формулировка должна быть понятной.
Смотрим на неравенство. Воспринимаем b как обыкновенное число. Очень похоже на квадратное неравенство. Но оно ли это? Дело в том, что мы не знаем значение параметра, оно вполне может быть таким, что при x^2 коэффициент обращается в 0. Так что рассматриваем сначала этот случай.
1)Пусть b + 2 = 0. Отсюда b = -2. Это b может подходить нам, а может и не подходить, проверяем его, подставляя в неравенство и решая полученное.
2)А вот теперь, когда при квадрате коэффициент у нас отличен от 0, я имею право сказать, что неравенство у нас квадратное. Затруднение вызывает
, как в случае квадратного неравенства ответить на поставленный вопрос. Для этого надо учесть ещё одну вещь. Помните, когда мы решали неравенство методом интервалов, у нас было несколько вариантов разных, какие могут быть решения. Что мы делали тогда? Рисовали параболу(потому что квадратный трёхчлен левой части у нас задаёт параболу), ветви её направляли в зависимости от знака коэффициента при квадрате(если положителен, то ветви вверх, если отрицателен - то вниз). Затем мы заштриховывали интервал либо между корнями, либо за ними в обе стороны в зависимости от знака самого неравенства. Мы могли обратить внимание на два принципиально разных случая - направления ветвей. В этом случае решения получаются совершенно разными. Так что вот это нам и надо будет учесть. При квадрате коэффициент зависит от параметра, какой он: положительный или отрицательный? А кто его знает. Надо рассмотреть оба случая.
а)Пусть b + 2 > 0, b > -2, то есть ветви параболы задающей левую часть неравенства, направлены вверх. Теперь поиграемся с самой параболой, её точное положение мы не знаем, так что будем двигать её. Вот так, как на первых трёх фотографиях. Очевидно, что двигать её будем именно так. Это три основных случая, которые мы рассматривали тогда, когда учились решать такие неравенства. Двигать параболу по горизонтали нам смысла нет, так как множество решений зависит именно от расположения параболы относительно оси OX. Корни x1,x2 - это корни квадратного трёхчлена(помните, вначале мы находили корни левой части). Возникает вопрос. В случае направления ветвей вверх может ли быть такая ситуация, что квадратный трёхчлен отрицателен для всех x(то есть, для всех y парабола ниже оси OX). Смотрим, в первом случае наше неравенство вообще решений не имеет(вся парабола выше оси OX). Во втором случае аналогично(есть лишь одна точка, где многочлен равен 0 - это x0, но точек, где парабола ниже оси OX, то трёхчлен отрицателен, нет).