1. Под каким углом пересекаются параболы у=х^2 и у = х^3 2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
у =х^3+2х^2-4х-3 в точке (-2; 5).
3.Показать, что кривые у = 4х^2+2х-8 и у = x^3-x+10
касаются друг друга в точке (3; 34). Будет ли то же самое в точке
(-2; 4)?
1. Под каким углом пересекаются параболы у=х^2 и у = х^3 .
Угол в точке пересечения кривых равен углу между касательными к этим кривым в точке касания.
Точки пересечения: х^2 = х^3. Их 2: х = 0 и х = 1.
Тангенс угла наклона касательной равен производной в точке касания.
Производные: (х^2)' = 2x, (х^3)' = 3x².
В точке х = 0 у них касательные совпадают с осью Ох. Нет угла между ними.
В точке х = 1: tg α1 = 2. tg α2 = 3.
tg(α2 - α1 ) = (3 - 2)/(1 + 3*2) = 1/7.
α2 - α1 = arc tg(1/7) = 0,141897 радиан или 8,13010 градуса.
2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
у =х^3+2х^2-4х-3 в точке (-2; 5).
y' = 3x² + 4x - 4. y(-2)' = 12 - 8 -4 = 0.
Значит, касательная горизонтальна. Её уравнение у = 5,
а уравнение нормали х = -2.
3.Показать, что кривые у = 4х^2+2х-8 и у = x^3-x+10
касаются друг друга в точке (3; 34). Будет ли то же самое в точке
(-2; 4)?
Находим производные.
1) y' = (4х^2+2х-8)' = 8x + 2, y(3)' = 24 + 2 = 26, y(3) = 34.
y(кас) = y'(x-xo) + yo = 26(x - 3) + 34 = 26x - 44.
2) у' = (x^3-x+10)' = 3x² - 1, y(3)' 27 - 1 = 26, y(3) = 27-3+10 = 34.
y(кас) = y'(x-xo) + yo = 26(x - 3) + 34 = 26x - 44.
Как видим, касательные совпадают, значит, кривые в точке (3; 34) касаются друг друга.
Если определить то же самое для точки (-2; 4), то увидим, что касательные проходят под разными углами.
Значит, в точке (-2; 4) кривые пересекаются.