1) Изобразите прямоугольную систему координат Охуz и постройте точки: А(4, 3, 6), В(5, 0, 0), С(0, 0, 6), D(-5, 0, 3), Е(3, 4, 0), F(0, 3, 6), G(0, 4, 0), K(5, -4, 2), М ( -3, 5, -3).
2) Какие из этих точек лежат в плоскости: а) Оху; б) Оуz; в) Охz.
3) Какие из этих точек лежат на прямой: а) Ох; б) Оу; в) Оz.
4) Найдите координаты проекции точки А на а) плоскость Оху; Оуz; Охz; б) на ось Ох; Оу; Оz.
2. а) Дан куб с ребром, равным 4. Определите
координаты его вершин.
б) Дан прямоугольный параллелепипед,
измерения которого равны 6;4;4. Определите
координаты его вершин.
3. Докажите, что ABCD — ромб, если А(11; 3; 5), В(5; 3; –7), С(–5; –5; –11), D(1; –5; 1).
4. Даны точки A (1; 0; k), B (-1; 2; 3), C (0; 0; 1). При каких значениях k треугольник ABC является
равнобедренным?
5. Запишите уравнение сферы с центром в точке О(1;2;-1), проходящей через точку
а) М(1;0;0), б) K(1;0;1), в) N(0;0;0-1)
6. Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-2; 0; 1), В(-1; 2; 3), С(8; -4; 9). Найдите
координаты вектора ВМ , если отрезок ВМ – медиана треугольника АВС.
7. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Изобразите на рисунке векторы, равные:
а) АС 1 + 1 + 1 + , б) – 1 1 , в) 1 1 + + 1 + 1 , г) – 1
Первая бригада - 3/4 всего собранного лука
Вторая бригада - 34% остатка
Третья бригада - в 1 1/3 раза больше, чем вторая
Четвёртая бригада - ?
1) 1680 * 3/4 = 1680 : 4 * 3 = 1260 (кг) - собрала первая бригада;
2) 1680 - 1260 = 420 (кг) - оставшийся лук;
3) 420 * 0,34 = 142,8 (кг) - собрала вторая бригада (34% остатка);
4) 142,8 * 4/3 = 142,8 : 3 * 4 = 190,4 (кг) - собрала третья бригада;
5) 1680 - (1260 + 142,8 + 190,4) = 1680 - 1593,2 = 86,8 (кг) - собрала четвёртая бригада.
Проверка: 1260 + 142,8 + 190,4 + 86,8 = 1680 (целое)
ответ: 86,8 кг лука собрала четвёртая бригада.
Пояснения:
1 целая 1/3 = (1*3+1)/3 = 4/3
34% = 34/100 = 0,34
Далее, по теореме косинусов, находим косинус угла между хордами из точки A: cos∠A = (7²+15²-20²)/(2*7*15)=-3/5
Теперь рассмотрим угол, который лежит по другую сторону от хорды BC. Поставим по другую сторону от этой хорды точку A'. Тогда ∠A' = 180°-∠A. Поэтому cos∠A' = -cos∠A=3/5, sin∠A'=sin∠A=√(1-(-3/5)²)=4/5. Центральный угол BOC равен удвоенному углу A': ∠ABOC=2∠A'.
sin(∠BOC) = 2*sin∠A' * cos∠A' = 2 * 4/5 * 3/5 = 24/25.
Тогда, из теоремы синусов, BC = 2R*sin(∠BOC) = D*sin(∠BOC), откуда D = 20/(24/25) = 125/6.