1. Бросают симметричную монету два раза. Одинаковы ли вероятности событий «два раза выпал орел» и «при одном броске выпал орел, а при другом — решка»?
2. Бросают две игральных кости: желтую и зеленую. Вычислите вероятность события:
а) «сумма очков на обеих костях равна 7»;
б) «сумма очков на обеих костях больше 8, и на зеленой кости выпало больше двух очков»;
в) «на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой»;
3. Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что произведение выпавших очков чётно. Найдите вероятность события:
а) «при одном из бросков выпало 5 очков»;
б) «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»;
4. При игре в «Морской бой» после первого вашего выстрела противник сообщил, что вы подбили какой-то корабль (но не потопили его). Какова вероятность того, что вы попали:
а) в четырёхпалубный корабль;
б) в трёхпалубный;
в) в двухпалубный?
5. В городе N пять улиц. Две из них идут параллельно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. Любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром два постовых случайным образом встали на два разных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице.
7
За круглым столом сидят 13 богатырей из k городов, где 1 < k < 13. Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже k. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.
Решение
Пусть утверждение неверно, то есть в любой момент времени ровно один рыцарь из каждого города держит золотой кубок (так как число кланов равно числу кубков). Допустим, что каждая следующая передача кубков происходит через минуту. Тогда за 13 минут – время полного оборота кубков вокруг стола – каждому рыцарю доведётся держать каждый из золотых кубков ровно по одному разу. То есть каждый рыцарь будет держать золотой кубок в течение k минут, а всем рыцарям из одного города – nk минут, где n – число рыцарей из этого города. Таким образом, nk = 13. Но это невозможно, поскольку число 13 простое. Противоречие.