Что означает выделенное выражение из рассказа? говорят,ты никому спуску не даешь.

Не давать спуску- значит, что (он) держит всё под контролем, либо  человек имеет строгий характер.

Никому спуску не даешь - это значит следить за людьми(определенным коллективом, например: классом, коллегами по работе, если начальник, заместитель), т. е. следить за дисциплиной, качеством работы. Не давать людям отдыхать в неположенное время.