Знайдіть радіус кола, діаметр якого дорівнює 16 см.
А) 2 см; Б) 4 см; В) 16 см; Г) 8 см.
2. Кола, радіуси яких 8 см і 4 см, мають внутрішній дотик. Знайдіть
відстань між їх центрами.
А) 2 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см.
3. Точка О – центр кола, MN – його хорда. Знайдіть ∠MON якщо
∠OMN=70°.
А) 20°; Б) 40°; В) 50°; Г) 60°.
4. Радіус кола дорівнює 4 см. Як розміщені пряма а і коло, якщо
відстань від центра кола до прямої дорівнює 3 см?
А) пряма перетинає коло у двох точках; Б) пряма є дотичною до кола;
В) пряма не має з колом спільних точок; Г) неможливо визначити.
5.Точка О – центр кола, вписаного у трикутник ABC, у якогоСАО
=68 0 . Чому дорівнює A?
6.У колі з центром у точці O діаметр CD перпендикулярний до хорди
MN (CDMN), CD перетинає MN у точці K, MN =18cм. Знайдіть MK.
7.Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо прямокутного
трикутника. Якщо гіпотенуза трикутника дорівнює 18см?
Достатній рівень
8.Два кола мають зовнішній дотик. Відстань між їх центрами 20 см,
Знайдіть радіуси кіл, якщо один з них у тричі більший за інший.
Високий рівень
9.У рівнобедрений трикутник вписано коло, що ділить бічну сторону у
відношенні 2 : 3, починаючи від вершини, яка протилежна основі.
Знайдіть периметр трикутника, якщо його основа дорівнює 12 см
2. Пусть боковые стороны будут a=х и b=х-3.
Так как высота делит тр-ник на два прямоугольных тр-ка и она для них общая, то по т. Пифагора можно записать ур-ние:
х²-10²=(х-3)²-5²,
х²-100=х²-6х+9-25,
х=14,
а=14 см, b=14-3=11 см, c=5+10=15 cм.
Р=14+11+15=40 см.
ответ: б) 40 см.
3. АВСД - ромб, ∠А=60°, АВ=АД, значит АВД - правильный тр-ник. В нём АО - высота. АО=АВ√3/2, АС=2АО=АВ√3 ⇒ АВ=АС/√3.
АВ=4√3/√3=4 см.
Периметр ромба: Р=4АВ=16 см.
ответ: а) 16 см.
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK;
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.