В правильной треугольной пирамиде полная поверхность равна 16корень из 3 см^2, а площадь основания- 4корень из 3 см^2.Найдите апофему и плоский угол при вершине пирамиды.
Зная площадь основания, найдём величину стороны а основания из формулы So = a²√3/4.
Отсюда a = √(4S/√3) = √(4*4√3/√3) = 4см.
Находим площадь боковой поверхности.
Sбок = S - So = 16√3 - 4√3 = 8√3 см².
Площадь одной боковой грани в 3 раза меньше, поэтому:
Sгр = 8√3/3 см².
Из формулы площади грани как треугольника найдём значение апофемы (это высота боковой грани).
Sгр = (1/2)aA, отсюда находим апофему.
А = 2Sгр/а = 2*(8√3/3)/4 = (4√3/3) см.
Угол при вершине равен 2arctg((a/2)/A) = 2arctg(2/(4√3/3)) =
Пусть Н-проекция высоты на основание, она лежит на гипотенузе , так как грань . проходящая через гипотенузу-по условию перпендикулярна основанию. Опуская перпендикуляры из Н к катетам основания-получаю НН1 и НН2. С высотой пирамиды НS они образуют прямоугольные треугольники. В этих треугольниках SH-общая высота и одинаковый угол бетта по условию. Учитывая что высота в них может быть выражена SH=HH1*tgβ=HH2tgβ-следует что НН1=НН2. Теперь надо выразить это НН1 через а и ∠α. Н делит гипотенузу на две части b и a-b, выражу b через а...-второй рисунок Высота пирамиды HS=HH1*tg β=a*sinα*cosα*tgβ/(sinα+cosα) Площадь основания S(осн)=a^2*sinα*cosα/2 Тогда объем пирамиды V=S(осн)*SH/3=a^3*sin^2(2α)*tgβ/(24(sinα+cosα))
В правильной треугольной пирамиде полная поверхность равна 16корень из 3 см^2, а площадь основания- 4корень из 3 см^2.Найдите апофему и плоский угол при вершине пирамиды.
Зная площадь основания, найдём величину стороны а основания из формулы So = a²√3/4.
Отсюда a = √(4S/√3) = √(4*4√3/√3) = 4см.
Находим площадь боковой поверхности.
Sбок = S - So = 16√3 - 4√3 = 8√3 см².
Площадь одной боковой грани в 3 раза меньше, поэтому:
Sгр = 8√3/3 см².
Из формулы площади грани как треугольника найдём значение апофемы (это высота боковой грани).
Sгр = (1/2)aA, отсюда находим апофему.
А = 2Sгр/а = 2*(8√3/3)/4 = (4√3/3) см.
Угол при вершине равен 2arctg((a/2)/A) = 2arctg(2/(4√3/3)) =
= 2arctg(3/(2√3) ≈ 81,7868 градуса.
Опуская перпендикуляры из Н к катетам основания-получаю НН1 и НН2.
С высотой пирамиды НS они образуют прямоугольные треугольники.
В этих треугольниках SH-общая высота и одинаковый угол бетта по условию.
Учитывая что высота в них может быть выражена SH=HH1*tgβ=HH2tgβ-следует
что НН1=НН2.
Теперь надо выразить это НН1 через а и ∠α. Н делит гипотенузу на две части b и a-b, выражу b через а...-второй рисунок
Высота пирамиды HS=HH1*tg β=a*sinα*cosα*tgβ/(sinα+cosα)
Площадь основания S(осн)=a^2*sinα*cosα/2
Тогда объем пирамиды V=S(осн)*SH/3=a^3*sin^2(2α)*tgβ/(24(sinα+cosα))