Пусть О - центр окружности, описанной около ΔАВС. Рассмотрим ΔАОВ: ОА=ОС=r, значит ΔАОВ -равнобедренный (впоследствии он окажется и равносторонним, но это при решении данной задачи значения не имеет). Точка Н- середина стороны АВ, через неё проведён серединный перпендикуляр ОН, который является медианой, биссектрисой и высотой. Так как Н- середина стороны АВ, то АН=НВ=120. ∠АСВ=30° является вписанным углом, опирающимся на дугу АВ, значит градусная мера дуги АВ=60° ∠АОВ при этом является центральным углом, опирающимся на дугу АВ, значит ∠АОВ=60° Рассмотрим Δ ОНВ: он прямоугольный, т.к. ОН⊥АВ; ∠НОВ=30°, т.к. ОН является и биссектрисой; а НВ=120 это катет, лежащий против угла в 30°. Значит
...Ну и как "Лучший ответ" не забудь отметить, ОК?!.. ;)
Рассмотрим ΔАОВ:
ОА=ОС=r, значит ΔАОВ -равнобедренный (впоследствии он окажется и равносторонним, но это при решении данной задачи значения не имеет). Точка Н- середина стороны АВ, через неё проведён серединный перпендикуляр ОН, который является медианой, биссектрисой и высотой.
Так как Н- середина стороны АВ, то АН=НВ=120.
∠АСВ=30° является вписанным углом, опирающимся на дугу АВ, значит градусная мера дуги АВ=60°
∠АОВ при этом является центральным углом, опирающимся на дугу АВ, значит ∠АОВ=60°
Рассмотрим Δ ОНВ: он прямоугольный, т.к. ОН⊥АВ; ∠НОВ=30°, т.к. ОН является и биссектрисой; а НВ=120 это катет, лежащий против угла в 30°.
Значит
...Ну и как "Лучший ответ" не забудь отметить, ОК?!.. ;)
Окружность с центром в точке О.
△АОВ.
АВ - хорда.
∠ОВА = 30°
ОВ, ОА - радиусы.
Через В проведена касательная.
Касательная ∩ АО = С.
АС = b.
Найти:ВС - ?
Решение:Обозначим касательную, которая проведена через точку В точками ВС.
АС - секущая.
Так как ОВ, ОА - радиусы ⇒ ОВ = ОА ⇒ △АОВ - равнобедренный.
⇒ ∠ОВА = ∠ОАВ = 30°, по свойству равнобедренного треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°.
⇒ ∠ВОА = 180° - (30° + 30°) = 120°
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
ОВ - радиус, проведенный в точку касания с касательной ВС ⇒ ВС ⊥ ОВ.
⇒ △СВО - прямоугольный.
Сумма смежных углов равна 180°.
∠ВОА смежный с ∠ВОС ⇒ ∠ВОС = 180° - 120° = 60°.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠ОСВ = 90° - 60° = 30°
Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.
⇒ ОВ = 1/2ОС. ⇒ОС = 2 * ОВ = 2R (R - радиус данной окружности)
Найдём BC, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; а, b - катеты)
BC = √(OC² - BO²) = √((2R)² - R²) = √(4R² - R²) = √3R² = R√3
⇒ CD = CO - DO = 2R - R = R
Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
⇒ BC² = CD * AC
(R√3)² = R * b
R = b/3
⇒ BC = √(b * b/3) = b√(3)/3.
ответ: b√(3)/3.