Знайдіть кути паралелограма,якщо: а)один із них є прямим; б)градусну міри двох його кутів відносяться як 2:7; в)різниця двох його кутів дорівнює 40°; г)сума трьох його кутів дорівнює 330°.

Решение первой задачи дано. Нет смысла повторяться, хотя можно дать немного иное решение ( из подобия треугольников АВД и АСЕ) с тем же результатом.   
Задача 2. 
Точка Р лежит на дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что РС = РА + РВ.

Угол АРС опирается на ту же дугу, что угол АВС. Следовательно
 Угол АРС =60°
Угол СРВ на том же основании равен 60°. 
Выразим АС по т. косинусов из треугольника АРС.
АС²=АР²+РС²-2 АР*РС cos(60°)
Выразим ВС по т. косинусов из треугольника ВРС.
ВС²=ВР²+РС²-2 ВР*РС cos(60°)
 АС=ВС как стороны равностороннего треугольника, приравняем эти два уравнения. 
АР²+РС²-2 АР·РС cos(60°)=ВР²+РС²-2 ВР·РС cos(60°)
АР²-ВР²=РС²-2 ВР·РС cos(60°)-РС²+2 АР·РС cos(60°) 
Вынесем в правой части общий множитель 2РС·cos(60°) за скобки: 
АР²-ВР²=2РС·cos(60°)(-ВР+АР)
АР²-ВР²=2РС·1/2·(АР-ВР)
(АР-ВР)(АР+ВР)=РС·(АР-ВР)
Сократим обе части уравнения на (АР-ВР)
(АР+ВР)=РС, что и требовалось доказать. 

1) Треугольники SAC=SBC, так как если дае стороны (SB = SA, SC - общая) и угол между ними (<CSB=CSA, так как SC - биссектриса) одного тр-ка равны двум сторонам и углу между ними другого.
2) Хорды DE и PK равны, так как равны треугольники DOE и POK (по тому же признаку: две стороны - радиусы окружности и угол между ними - <POK и <DOC - вертикальные), а в равных тр-ках против равных углов лежат равные стороны.
3) Треугольники PDS и SDR равны по трем сторонам: RS=PS, DP=DR, а DS- общая сторона. Значит <RDS = <PDS (в равных тр-ках против равных сторон лежат равные углы. Три угла <PDR,<RDS и <PDS в сумме равны 360°, значит <RDS = (360°-100°):2 = 130°.