Попробуем координатный метод стартуем в начале координат, от него вправо сторона длиной 15, вправо вверх сторона 14, И из точки (15;0) влево вверх сторона 13 Координата третей вершины найдётся из системы x^2+y^2=14^2 (x-15)^2+y^2=13^2 вычтем из второго первое x^2 + y^2 = 196 x^2 + y^2 - 30 x = -56 ----------- 30х = 252 x = 42/5 y^2 = 196 - (42/5)^2 = 3136/25 y = +- 56/5, отрицательный корень нам не нужен y = 56/5 Итак, три вершины А(0;0) В(15;0) С(8.4;11.2) --------------------------------- начнём с медиан. медиана из вершины А пересекает сторону ВС в точке 1/2((15;0)+(8.4;11.2)) = (11.7;5.6) уравнение этой медианы y = 5.6/11.7 x медиана из вершины В пересекает сторону АС в точке 1/2((0;0)+(8.4;11.2)) = (4.2;5.6) y=kx+b 5.6=4.2k+b 0=15k+b k = -14/27 b = 70/9 y=-14/27x+70/9 и точка пересечения медиан найдётся из решения системы y = 5.6/11.7x y=-14/27x+70/9 ------------- x = 39/5 y = 56/15 Точка пересечения медиан М(39/5;56/15) -------------------------------------- теперь высоты Проще всего с вертикальной. Её уравнение x=8.4 Уравнение прямой ВС В(15;0) С(8.4;11.2) y=kx+b 11.2=8.4k+b 0=15k+b k = -56/33 b = 280/11 y = -56/33x + 280/11 собственно, нам b не нужно, а нужен угловой коэффициент для построения перпендикуляра к стороне BC В уравнении перпендикуляра угловой коэффициент будет равен k₁ = -1/k = 33/56 а b₁ равен 0, т.к. высота исходит из начала координат y = 33/56x x = 8.4 решение x = 42/5, y = 99/20 Это координаты точки пересечения высот H(42/5;99/20) -------------------------------------------------------------- теперь биссектрисы Уравнение стороны АС y=11.2/8.4x=4/3x координата точки на расстоянии 1 от начала координат будет y^2+x^2=1^2 16/9x^2+x^2 = 1 x=+-3/5, отрицательный корень не нужен x=3/5 y=4/5 Единичный вектор по стороне АВ будет иметь координаты (1;0) среднее арифметическое между последними двумя точками, т.е. точка, принадлежащая биссектрисе 1/2((3/5;4/5)+(1;0)) = 1/2(8/5;4/5) = (4/5;2/5) Уравнение биссектрисы из точки А y=1/2x Уравнение прямой ВС было в пункте y = -56/33x + 280/11 единичный вектор от точки В(15;0) к точке С(8.4;11.2) y^2+(x-15)^2=1^2 (-56/33x + 280/11)^2+(x-15)^2=1 (4225 (x - 15)^2)/1089 = 1 два решения x₁ = 942/65 x₂ = 1008/65 - второй корень, от точки С, нам не нужен x = 942/65 y = -56/33x + 280/11 = -56/33*942/65 + 280/11 = 56/65 Единичный вектор от В к С (942/65;56/65) Единичный вектор от В к A (14;0) Их среднее арифметическое (926/65;28/65) Это вторая точка биссектрисы из угла В(15;0) 28/65=k926/65+b 0=15k+b k = -4/7 b = 60/7 y = -4/7x + 60/7 решаем совместно с y=1/2x точка пересечения x = 8 y = 4 И это точка пересечения биссектрис L(8;4) ------------------- М(39/5;56/15) H(42/5;99/20) L(8;4) Площадь треугольника найдём через координаты, хотя возможны и другие методы
Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
стартуем в начале координат, от него вправо сторона длиной 15, вправо вверх сторона 14, И из точки (15;0) влево вверх сторона 13
Координата третей вершины найдётся из системы
x^2+y^2=14^2
(x-15)^2+y^2=13^2
вычтем из второго первое
x^2 + y^2 = 196
x^2 + y^2 - 30 x = -56
-----------
30х = 252
x = 42/5
y^2 = 196 - (42/5)^2 = 3136/25
y = +- 56/5, отрицательный корень нам не нужен
y = 56/5
Итак, три вершины
А(0;0) В(15;0) С(8.4;11.2)
---------------------------------
начнём с медиан.
медиана из вершины А пересекает сторону ВС в точке
1/2((15;0)+(8.4;11.2)) = (11.7;5.6)
уравнение этой медианы
y = 5.6/11.7 x
медиана из вершины В пересекает сторону АС в точке
1/2((0;0)+(8.4;11.2)) = (4.2;5.6)
y=kx+b
5.6=4.2k+b
0=15k+b
k = -14/27
b = 70/9
y=-14/27x+70/9
и точка пересечения медиан найдётся из решения системы
y = 5.6/11.7x
y=-14/27x+70/9
-------------
x = 39/5
y = 56/15
Точка пересечения медиан
М(39/5;56/15)
--------------------------------------
теперь высоты
Проще всего с вертикальной. Её уравнение x=8.4
Уравнение прямой ВС
В(15;0) С(8.4;11.2)
y=kx+b
11.2=8.4k+b
0=15k+b
k = -56/33
b = 280/11
y = -56/33x + 280/11
собственно, нам b не нужно, а нужен угловой коэффициент для построения перпендикуляра к стороне BC
В уравнении перпендикуляра угловой коэффициент будет равен
k₁ = -1/k = 33/56
а b₁ равен 0, т.к. высота исходит из начала координат
y = 33/56x
x = 8.4
решение
x = 42/5, y = 99/20
Это координаты точки пересечения высот
H(42/5;99/20)
--------------------------------------------------------------
теперь биссектрисы
Уравнение стороны АС
y=11.2/8.4x=4/3x
координата точки на расстоянии 1 от начала координат будет
y^2+x^2=1^2
16/9x^2+x^2 = 1
x=+-3/5, отрицательный корень не нужен
x=3/5
y=4/5
Единичный вектор по стороне АВ будет иметь координаты (1;0)
среднее арифметическое между последними двумя точками, т.е. точка, принадлежащая биссектрисе
1/2((3/5;4/5)+(1;0)) = 1/2(8/5;4/5) = (4/5;2/5)
Уравнение биссектрисы из точки А
y=1/2x
Уравнение прямой ВС было в пункте
y = -56/33x + 280/11
единичный вектор от точки В(15;0) к точке С(8.4;11.2)
y^2+(x-15)^2=1^2
(-56/33x + 280/11)^2+(x-15)^2=1
(4225 (x - 15)^2)/1089 = 1
два решения
x₁ = 942/65
x₂ = 1008/65 - второй корень, от точки С, нам не нужен
x = 942/65
y = -56/33x + 280/11 = -56/33*942/65 + 280/11 = 56/65
Единичный вектор от В к С
(942/65;56/65)
Единичный вектор от В к A
(14;0)
Их среднее арифметическое
(926/65;28/65)
Это вторая точка биссектрисы из угла В(15;0)
28/65=k926/65+b
0=15k+b
k = -4/7
b = 60/7
y = -4/7x + 60/7
решаем совместно с
y=1/2x
точка пересечения
x = 8
y = 4
И это точка пересечения биссектрис
L(8;4)
-------------------
М(39/5;56/15)
H(42/5;99/20)
L(8;4)
Площадь треугольника найдём через координаты, хотя возможны и другие методы
S=((39/5-8)(99/20-4)-(56/15-4)(42/5-8))/2 = -1/24
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.