знайдіть гострі кути та сторони прямокутного трикутника, якщо один з його катетів дорівнює 6коренів3 см, а проекція цього катета на гіпотенузу 9 см

АД - диаметр, так как окружность в точке Д касается СД.

Отсюда следует, что треугольник АРД - прямоугольный.

Имеем 2 подобных треугольника: АРД и АВС.

Пусть ВС = х, РД = у.

Составим систему уравнений:

{х/АВ = АР/у,

{х² + РД² = АД² = ВС².

Подставим известные данные.

{(х/(9√10)) = 3/у,

{х² = 9 + у².

Из второго уравнения х = √(9 + у²).

Первое уравнение получится таким:

у*(√(9 + у²)) = 27√10.

Возведём обе части в квадрат и получим биквадратное уравнение:

y^4 + 9y^2 - 27²*10 = 0. Делаем замену: y² = z.

z² + 9z - 7290 = 0.

Находим дискриминант:

D=9^2-4*1*(-7290)=81-4*(-7290)=81-(-4*7290)=81-(-29160)=81+29160=29241;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

z_1=(2root29241-9)/(2*1)=(171-9)/2=162/2=81;

z_2=(-2root29241-9)/(2*1)=(-171-9)/2=-180/2=-90.

Обратная замена (отрицательное значение отбрасываем - из него корень не извлекается).

y = √81 = ±9.

Для длины принимаем положительное значение.

ответ: ДР = у = 9.

Стороны построенных равносторонних треугольников равны сторонам квадрата.

Углы квадрата равны 90°, углы правильного треугольника 60°.⇒

угол МDС=90°-60°=30°

Т.к. ∆ СКD по условию равносторонний, ∠МDС+∠СDК=30°+60°=90°.

МD=СD=DК ( по условию). ⇒ ∆ МDК - прямоугольный равнобедренный, ⇒ ∠КМD=∠DKM=45°.

В равнобедренном ∆ ВАМ ∠ ВАМ=30°,⇒ из суммы углов треугольника углы при основании ВМ содержат по 75°.

Сумма углов ВМА+АМD+DМК=75°+60°+45°=180°. Следовательно, угол ВМК - развернутый, и точки В, М и К лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.