Задание 1. Задан вектор 1212121.jpg= (−1; 2) и точка A (3; 0). Запишите уравнения прямой, которая проходит через точку A, а вектор 1212121.jpg является:

Направляющим вектором (прямая параллельна вектору 1212121.jpg). ( )
Вектором нормали (прямая перпендикулярна вектору 1212121.jpg). ( )

Задание 2.

Заданы два вектора aaa.jpg= (1; 1); .jpg= (x; −1). При каких значениях х эти векторы:

Являются коллинеарными? (7, )
Образуют острый угол? (7, )
Образуют прямой угол? (7, )
Образуют тупой угол? (7, )

Задание 3.

Заданы точки K (−1;−1); L (−2; 1); M (2; 3); N (3; 1).

Докажите, что KLMN – прямоугольник. ( )
Найдите косинус угла между его диагоналями. ( )
Найдите площадь прямоугольника. ( )

Два решения

1)

Из треугольников  ABC, ACD соответственно по теор синусов  

CAB=a

CAD=b

BC/sina=AC/sin(a+2b)  

CD/sinb=AC/sin(2b+a)  

но BC=CD , тогда

sina/sin(a+2b) = sinb/sin(b+2a)

sina*sin(b+2a) - sinb*sin(a+2b) = 0

cos(a-b-2a)-cos(b+3a) - cos(b-a-2b)+cos(a+3b)=0

cos(a+3b)=cos(b+3a)

a+3b=b+3a

2b=2a

a=b  

CAB=CAD

2)

 Пусть AECF точка O пересечения диагоналей и OE=OF рассмотрим симметрию относительно точки O, точка Е перейдет в точку F, точка B в точку D по определению симметрии так как  CB=CD точка А перейдет в себя, тогда  AB=AD тогда  треугольники ABC=ACD  откуда

 180-2a-b=180-2b-a

3a=3b

a=b

Точки A-F-C лежат на прямой Симсона точки B относительно треугольника EGD.

Объяснение:

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на прямой Симсона.

Точка B лежит на описанной окружности треугольника EGD (прямые углы EBG и EDG опираются на диаметр EG).

A и С - основания перпендикуляров из точки B на стороны треугольника EGD.

Тогда AC - прямая Симсона точки B относительно треугольника EGD.

(Прямая Симсона пересекает сторону EG  в точке F, следовательно BF⊥EG)