Задание 1. На окружности с центром О
отмечены точки А, В, С такие,
что АВ = ВС = СА. Отрезок
АМ – диаметр окружности.
Докажи, что:
a)  AOB =  AOC;
b)  OAB =  OAC;
c) ВМ = СМ

∠SAO = 60°

Объяснение:

Проведем SO⊥(ABC).

SO = 12 см - расстояние от S до плоскости квадрата.

Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость.

АО - проекция SA на (АВС), значит

∠SAO - угол между прямой SA и плоскостью квадрата - искомый.

SA = SB = SC = SD по условию.

Если равны наклонные, проведенные к плоскости из одной точки, то равны и их проекции:

OA = OB = OC = OD.

Значит, О - центр квадрата (точка пересечения диагоналей).

AD = 4√6 см, тогда диагональ квадрата:

AC = AD√2 = 4√6 · √2 = 8√3 см

AO = 0,5 AC = 0,5 · 8√3 = 4√3 см

Из прямоугольного треугольника SOA:

∠SAO = 60°

Нужен единичный отрезок. Может быть получен делением отрезка по теореме Фалеса.

1) Гипотенуза треугольника с катетами 1 и 2 равна √5 (по теореме Пифагора)

2) Высота из прямого угла есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, h=√(AD*DB)

- достраиваем к отрезку AD=5 отрезок DB=1 на одной прямой

- строим окружность на гипотенузе AB

- строим перпендикуляр к AB из точки D

- пересечение перпендикуляра и окружности - C

Вписанный угол ACB - прямой, так как опирается на диаметр. CD - высота из прямого угла.

CD =√(AD*DB) =√(5*1) =√5