‼️Задан треугольник АВС и точки K и L на сторонах АВ и ВС соответственно. Через точки А и С проходит плоскость α параллельно отрезку KL. Найдите длину отрезка АС, если длина KL = 6, а BL:LC=3:5.

Равносторонних трапеций не существует! Существуют равнобочные или равнобедренные трапеции (что одно и то же). Если дана равнобочная трапеция, то имеем. Из свойств параллельных прямых выводим, что треугольник, образованный боковой стороной, меньшим основанием и диагональю является равнобедренным (углы при диагонали равны). Таких треугольников два вообще-то. И имеем, что длины боковых сторон равны длине меньшего основания. То что длины боковых сторон одинаковы следует из того, что трапеция равнобочная. Углы при большем основании трапеции опять же одинаковы и равны 2*30 = 60 градусов. Вырезав зеленый прямоугольник (см. рисунок) и приставив друг к другу фиолетовые треугольники, получим равносторонний треугольник (т.к. все его углы будут по 60 градусов). И имеем для этого треугольника:
a=4-a; где a - длина боковой стороны, а также (по доказанному) длина меньшего основания. Т.е. a=4-a, <=> 2a=4; a=2.
Pтрапеции = a+a+a+4 = 3a+4 = 3*2 +4 = 10.

Обозначим длины сторон треугольника за a,b,c. Пусть a≤b<c, то есть, сторона c треугольника является наибольшей. Обозначим за x длину высоты, проведенной к стороне a, за y высоту, проведенную к стороне b и за z высоту, проведенную к стороне c.

Известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту. Следовательно,
1/2*ax=1/2*by=1/2*cz=S, ax=by=cz.

Покажем, что x>z и y>z. Действительно, из равенства ax=cz следует x=cz/a, но a<c, тогда x=(c/a)*z>1*z=z. Аналогично, y=(c/b)*z>1*z=z. Таким образом, высота z, проведенная к наибольшей стороне треугольника c, меньше двух других высот, что и требовалось доказать.