Задачи с оформлением дано и решение.
№1
На окружности поставлены три точки A,B и C так, что длина дуги AB равна 33 см, длина дуги BC равна 10 см, длина дуги CA равна 47 см. Найти наименьший угoл треугольника ABC.
№2
Отрезок AB является диаметром окружности. На окружности поставлена точка C так, что длина дуги AC равна 237 см, длина дуги AB равна 270 см. Найти модуль разности острых углов треугольника ABC.
№3
В окружность вписан правильный 18-угольник A1A2A3...A18
Найти величину угла A13A14A15
№4
В окружность вписан правильный 5-угольник A1A2A3...A5
Прямые (A1A2) и (A4A5) пересекаются в точке M. Найти величину угла A1MA5
№5
В окружность вписан правильный 60-угольник A1A2A3...A60
Диагонали A38A53 и A45A59 пересекаются в точке M. Найти величину угла A38MA45
​

а) Треугольники АНС и ВНС прямоугольные, поэтому MH=0,5*АС=СМ и NH=0,5*CB=CN. Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда <MHN = <MCN = 90 градусов.
б) В прямоугольном треугольнике АВС имеем: CH=√АН*ВН=√2592.
В прямоугольных треугольниках МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:
МН/МР=МС/МQ=сos<СМН,
поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия сos<СМН.

Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть S=(АН*СН)/4=72*√2592/4=18*√2592=648*√2

Найдём сos<СМН:

сos<СМН=сos(2<САН)=2cos^2<САН-1=2AH^2/АС^2-1=2AH^2/(АН^2+CH^2)-1=0,33.

Значит, площадь треугольника MPQ равна S/сos^2<СМН=5832√2

Ответ: б) 5832√2.

№1

Угол ЕОR=21° по условию

Угол ROF в 3 раза больше угла ЕОR, тогда угол ROF=21°*3=63°.

Угол ЕОF=угол EOR+угол ROF=21°+63°=84°

ответ: 84°

№2

Пусть длина ВС – х, тогда длина АС – 2х

АВ=АС+ВС;

15=2х+х

15=3х

х=5

Тогда длина ВС=5 см, а длина АС=2*5=10 см.

ответ: 10 см, 5 см

№3

а) Угол смежный углу КОЕ – это угол СОЕ (прямая СК и общая сторона ОЕ) или угол NOK (прямая NE и общая сторона ОК)

ответ: два варианта. Выбирай любой.

b) 1 пара: угол КОЕ и угол CON (пересекающиеся прямые СК и NE)

2 пара: угол СОЕ и угол KON (пересекающиеся прямые СК и NE)

c) Так как углы КОЕ и CON вертикальны, то они равны. Угол CON=46° по условию, тогда и угол КОЕ=46°.

d) Угол СОК – развернутый, тоесть он равен 180°;

Угол РОК=65° по условию;

Угол CON=46° по условию;

Угол PON=угол СОК–угол РОК–угол CON=180°–65°–46°=69°

ответ: 69°