Задача: через точку М провести прямую с, перпендикулярную прямой в. Рассмотреть 2 случая( М принадлежит и М не принадлежит прямой в). Записать ход построения и доказательство
ABCA1B1C1 - правильная треугольная призма. Это значит, что в основании правильный треугольник, и она прямая. Через центр верхнего основания O провели прямую, которая пересекает ребро нижнего основания BC в точке N. Пусть A1M - медиана треугольника A1B1C1 из угла A1. Тогда MN || BB1, MN = H, где H - высота. Очевидно, что MN⊥(ABC), т.е. плоскости основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMN. По условию, ∠O = α. Тогда OM = H * ctg(α). Теперь рассмотрим треугольник A1B1C1. Так как A1M - медиана, а O - точка пересечения медиан, то A1M = 3 * OM = 3Hctg(α). Теперь найдем A1B1 из треугольника A1B1M. Это прямоугольный треугольник, поскольку A1M в равностороннем треугольнике A1B1C1 является еще и высотой. Тогда A1B1 = A1M / sin∠B1 = 3Hctg(α) / (√3/2) = 2√3Hctg(α). B1C1 = A1B1. Далее находим S_A1B1C1 = 1/2 * B1C1 * A1M = 1/2 * 2√3Hctg(α) * 3Hctg(α) = 3√3H²ctg²(α). Далее ищем площадь боковой поверхности. Sб.п. = H * P_A1B1C1, где P_A1B1C1 - периметр треугольника A1B1C1. Sб.п. = H * (3 * 2√3Hctg(α)) = 6√3H²ctg(α). Дальше находим площадь полной поверхности: Sп.п. = 2 * S_A1B1C1 + Sб.п. = 2 * 3√3H²ctg²(α) + 6√3H²ctg(α) = 6√3H²ctg(α)(ctg(α) + 1)
Обозначим параллелограмм АОСР, где диагонали АС и ОР пересекаются в точке В. Найдем координаты точек С и Р.
Точка С(3;4)
Точка P(0;4) Точки А и О лежат на оси Ох, т е уравнение прямой АО у=0, С и Р лежат на прямой у=4, т е уравнение прямой РС у=4. Точки А и Р лежат на прямой у=kx+b, для A: 0=-3k+b, для P: 4=0*k+b , отсюда b=4, k=4/3, т е уравнение прямой АР у=4/3х+4. Точки О и С лежат на прямой у=kx+b, для О: 0=0*k+b, для С: 4=3*k+b , отсюда b=0, k=4/3, т е уравнение прямой ОС у=4/3х. ответ: уравнения сторон параллелограмма у=0, у=4, у=4/3х+4,
Sб.п. = H * P_A1B1C1, где P_A1B1C1 - периметр треугольника A1B1C1. Sб.п. = H * (3 * 2√3Hctg(α)) = 6√3H²ctg(α).
Дальше находим площадь полной поверхности:
Sп.п. = 2 * S_A1B1C1 + Sб.п. = 2 * 3√3H²ctg²(α) + 6√3H²ctg(α) = 6√3H²ctg(α)(ctg(α) + 1)
Точка С(3;4)
Точка P(0;4)
Точки А и О лежат на оси Ох, т е уравнение прямой АО у=0, С и Р лежат на прямой у=4, т е уравнение прямой РС у=4.
Точки А и Р лежат на прямой у=kx+b, для A: 0=-3k+b, для P: 4=0*k+b , отсюда b=4, k=4/3, т е уравнение прямой АР у=4/3х+4.
Точки О и С лежат на прямой у=kx+b, для О: 0=0*k+b, для С: 4=3*k+b , отсюда b=0, k=4/3, т е уравнение прямой ОС у=4/3х.
ответ: уравнения сторон параллелограмма у=0, у=4, у=4/3х+4,