Задача 1. Даны две вершины A (–6; –2) и B (10; 6) отрезка AB и отношение λ = AC / CB = 3. Требуется найти координаты точки C, которая делит отрезок AB в данном отношении λ = 3.
Задача 2. Даны две вершины A (–4; –4) и B (8; 2) отрезка AB и отношение λ = AC / CB = –2. Точка C лежит вне отрезка AB. Требуется найти координаты точки C, которая делит отрезок AB в данном отношении λ = –2.
Проведем третью медиану СМ из вершины С, она тоже пройдет через точку О (т.к. все медианы пересекаются в одной точке - эта точка делит каждую медиану в отношении 1:2, т.е. ОМ = СМ/3).
В равнобедренном теругольнике медиана, проведенная из вершины, является одновременно и биссектрисой этого угла, и высотой. Основание теугольника известно по условию. Если мы найдем величину высоты СМ, то легко найдем площадь треугольника - S = СМ * АВ /2.
Заметим, что треугольник АОВ прямоугольный (по условию, т.к. медианы пересекаются под прямым углом) и равнобедренный ( трегольники АОС и ВОС равны по равенству двух сторон и углов между ними, т.к. АС=ВС по условию, СО - общая сторона и углы АСО и СОВ равны, поскольку СО - биссектриса угла АСВ, следовательно, АО=ОВ).
Углы при основании треугольника АОВ равны и составляют 45 градусов каждый. Поэтому треугольник АОМ тоже равнобедренный (угол АМО прямой, а угол ОАМ 45 градусов, значит, и угол АОМ тоже 45 градусов). Следовательно, АМ=ОМ (как стороны равнобедренного треугольника АОМ).
АМ равна половине основания АВ (т.к. СМ - медиана), следовательно ОМ =2. Полная длина медианы СМ=ОМ * 3 = 6.
S = СМ * АВ /2 = 6 * 4 / 2 = 12.
Можно хорды нарисовать параллельными, т.к. расстояние от центра окружности до хорд и радиус заданы условием, поэтому, поэтому длина хорд не меняется от места их расположения.
Расстояние от точки до прямой измеряют отрезком, перпендикулярным к ней. ⇒
углы СКО и АМО - прямые, а треугольники СКО и АМО - прямоугольные. Радиус окружности является их гипотенузой, а половина АВ=9 .
Из треугольника АМО найдем радиус r.
Треугольник - египетский, т.к. отношение катетов 3:4, следовательно, радус равен 15 ( можно проверить по т. Пифагора).
Треугольники СКО и АМО равны по гипотенузе и меньшему катету, из чего следует, что больший катет второго треугольника равен 12.
СD=2 СК=24.
-------
bzs*