Зачёт No1
«Метод координат в Вариант 12
Вершины треугольника KMN имеют координаты к(2;-2; 3),
м(2; 8; 1),N(2; 2;-3). Найдите:
а) координаты середины стороны КМ;
б) длины сторон треугольника и определите вид этого
треугольника (равносторонний, равнобедренный или
разносторонний);
в) вычислите косинус угла Ми определите вид этого угла
(острый, прямой или тупой)​

Обозначим диагональ равнобокой трапеции за d (диагонали равны). Тогда площадь можно выразить через диагонали и угол между ними - S=1/2*d²*sin(a), где sin(a) - синус угла между диагоналями. Мы знаем, что 1/2*d²*sin(a)=1, d²*sin(a)=2. Значение d будет наименьшим в случае, если значение sina наибольшее. Оно наибольшее, когда a=90 градусам, то есть, когда диагонали пересекаются под прямым углом. В этом случае sin(a)=1, d²=2, d=√2. Таким образом, наименьшее значение диагонали равнобокой трапеции с площадью 1м² - √2м.

Есть два решения)))
1) используя т.Пифагора...
2) используя формулу для площади треугольника...
S = p*r, где р--полупериметр, r--радиус вписанной окружности
получается, что площадь прямоугольного треугольника = 5
радиусы вписанной в прямоугольный треугольник окружности отсекают на катетах квадрат)))
если обозначить оставшиеся части катетов (х) и (у) и вспомнить, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, то получим:
(х+1) + (у+1) + (х+у) = 10 --- периметр треугольника
2х + 2у = 8
х+у = 4
а площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена как половина произведения катетов... S = 5 = (x+1)*(y+1) = xy + x + y + 1 = xy + 5
xy = 0 ---т.е. или х=0 или у=0 ---> треугольник не существует такой...