З точки А під кутом 45° до площини а проведена похила АВ. Визначити довжину похилої,якщо довжина її проекції дорівнює 4 см. ​

60°

Объяснение:

Дано: ΔАВС.

АО - медиана, ВН - высота.

АО = ВН.

Найти: ∠ВМО

Продлим АО за точку О на ОК=АО. Из точки К опустим перпендикуляр на продожение АС.

1. Рассмотрим ΔВОК и ΔАОС.

ВО = ОС (условие)

АО = ОК (построение)

Вертикальные углы равны.

⇒ ∠1 = ∠2

⇒ ΔВОК = ΔАОС (по двум сторонам и углу между ними. 1 признак)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

⇒ ∠3 = ∠4 -накрест лежащие при ВК и АС и секущей ВС.

⇒ ВК || АС.

2. Рассмотрим НВКР.

ВК || АС (п.1)

Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ ВН || КР.

При этом ВН ⊥ АР и КР ⊥АР.

⇒ НВКР - прямоугольник.

Противоположные стороны прямоугольника равны.

⇒ ВН = КР.

3. Рассмотрим ΔАКР - прямоугольный.

ВН = АО (условие)

   ВН = КР (п.2)

⇒ КР = АО

АК = 2АО (построение) ⇒ АК = 2 КР

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ ∠КАР = 30°

4. Рассмотрим ΔАМН - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠АМН = 90° - ∠КАР = 90° - 30° = 60°

∠АМН = ∠ВМО = 60°

Вариант 1: АС = √13 см.

Вариант 2: АС = 5 см.

Объяснение:

В треугольнике АВС АВ=3√2, ВС=1, АС=√2*R (дано). Найти АС.

По теореме синусов: АС/sinB = 2R.  => R√2/SinB = 2R.

SinB =  √2/2. Значит угол равен 45 градусов и cosB=√2/2. По теореме косинусов:

АС²= АВ²+ВС² - 2АВ*ВС*cosB. Подставляем значения и получаем

АС² =18+1 - 2*3√2*1*√2/2 =13.

АС = √13 см.

Второй вариант:

Угол при вершине В тупой и тогда косинус этого угла отрицательный и равен -√2/2. Тогда

АС²= АВ²+ВС² + 2АВ*ВС*cosB = 18+1 + 6 =25.

АC = √25 = 5 см.

Проверка по теореме о неравенстве треугольника:

Вариант 1: АВ≈4,24; ВС=1; АС≈3,6.  4,24 < 3,6+1. Треугольник существует.

Вариант 2: АВ≈4,24; ВС=1; АС=5.  5 < 4,24+1. Треугольник существует.