Так как в условии ничего нет про угол, под которым отрезок пересекает плоскость, примем его за 90°. В этом случае действительно можно говорить о том, что расстояния от концов отрезка до плоскости являются частями самого отрезка, то есть перпендикуляры из концов отрезка на плоскость совпадают с самим отрезком. Тогда длина отрезка: L = h₁+h₂ = 3 + 12 = 15 (cм) и L/2 = 7,5 (cм) Так как концы отрезка находятся по разные стороны плоскости, расстояние от середины отрезка до плоскости будет меньше половины длины отрезка на величину расстояния от ближнего к плоскости конца отрезка до самой плоскости. То есть: h = L/2 - h₁ = 7,5 - 3 = 4,5 (см)
ответ: расстояние от середины отрезка до плоскости 4,5 см
Решение через подобие треугольников. (см. рис.)
Расстоянием от точки до плоскости является перпендикуляр, опущенный из этой точки на данную плоскость. Следовательно, АА₁⊥α и ВВ₁⊥α. Через точки А₁ и В₁ проведем прямую А₁В₁. Рассмотрим треугольники АА₁О и ВВ₁О: Данные треугольники являются прямоугольными и ∠АОА₁=∠ВОВ₁, как вертикальные. Значит, данные треугольники подобны по двум углам, и АО/ОВ = 12/3 = 4 Обозначим ОВ₁=х, тогда ОА₁=4х Весь отрезок АВ=х+4х=5х, и половина отрезка АВ:2 = АС = СВ = 5х:2 = 2,5х Тогда отрезок ОС = 4х-2,5х = 1,5х
Рассмотрим треугольники АОА₁ и СОС₁: Так как СС₁⊥α => CC₁⊥A₁B₁ ∠АОА₁ - общий Следовательно, эти треугольники также подобны по двум углам, и АО/CO = 12/CC₁ 4x/1,5x = 12/CC₁ CC₁ = 12*1,5/4 = 4,5 (см)
---
PK -?
PK тоже диаметр в этой окружности (∠PCK ≡∠ACB=90°) .
Значит PK =HC =√(AH*BH) =√(8*18) =√(2*4*2*9) =2*2*3 =12.
ответ :12.
"длинный путь" :
CH =√(AH*BH) =√(8*18) =12.
AC² =AB*AH ; AB =AH+BH =8+18 =26 ;
AC =√26*8 =4√13 ;
BC² =AB*BH ;
BC =√26*18 =18√13 .
∠HPC =90°.
Из ΔAHC: CH ² =AC*CP ⇒CP =CH²/AC = 144/(4√13) = 36/√13 .
∠HKC =90°.
Из ΔBHC: CH ² =BC*CK ⇒CK =CH²/AC = 144/(6√13) = 24/√13 .
Из ΔPCR: PR =√((CP)² +(CK)²) = √((36/√13)²+(24/√13)²) =√( (12²/13)*(3² +2²) =12
Тогда длина отрезка: L = h₁+h₂ = 3 + 12 = 15 (cм)
и L/2 = 7,5 (cм)
Так как концы отрезка находятся по разные стороны плоскости, расстояние от середины отрезка до плоскости будет меньше половины длины отрезка на величину расстояния от ближнего к плоскости конца отрезка до самой плоскости. То есть:
h = L/2 - h₁ = 7,5 - 3 = 4,5 (см)
ответ: расстояние от середины отрезка до плоскости 4,5 см
Решение через подобие треугольников. (см. рис.)
Расстоянием от точки до плоскости является перпендикуляр, опущенный из этой точки на данную плоскость.
Следовательно, АА₁⊥α и ВВ₁⊥α.
Через точки А₁ и В₁ проведем прямую А₁В₁.
Рассмотрим треугольники АА₁О и ВВ₁О:
Данные треугольники являются прямоугольными и
∠АОА₁=∠ВОВ₁, как вертикальные.
Значит, данные треугольники подобны по двум углам, и АО/ОВ = 12/3 = 4
Обозначим ОВ₁=х, тогда ОА₁=4х
Весь отрезок АВ=х+4х=5х, и половина отрезка АВ:2 = АС = СВ = 5х:2 = 2,5х
Тогда отрезок ОС = 4х-2,5х = 1,5х
Рассмотрим треугольники АОА₁ и СОС₁:
Так как СС₁⊥α => CC₁⊥A₁B₁
∠АОА₁ - общий
Следовательно, эти треугольники также подобны по двум углам, и
АО/CO = 12/CC₁
4x/1,5x = 12/CC₁
CC₁ = 12*1,5/4 = 4,5 (см)
ответ: 4,5 см