Из ΔАВС (∠А = 90°): ВС = √(АВ² + АС²) = √(9 + 4) = √13 см
Из ΔАDВ (∠А = 90°): ВD = √(АВ² + АD²) = √(1 + 4) = √5 см
Из ΔАDC (∠А = 90°): CD = √(АC² + АD²) = √(9 + 1) = √10 см
Площадь ΔDВС найдём по формуле Герона
S = √(p(p - DВ)(p - DС)(p - BC)), p = (DВ + DС + BC) : 2 = (√5 + √10 + √13) : 2 см
S = √((√5 + √10 + √13) : 2((√5 + √10 + √13) : 2 - √5)((√5 + √10 + √13) : 2 - √10)((√5 + √10 + √13) : 2 - √13)) = √((√5 + √10 + √13) : 2((√10 + √13 - √5) : 2)((√5 + √13 - √10 ) : 2)(( √5 + √10 - √13) : 2)) =0,25√((√5 + √10 + √13)(√10 + √13 - √5)(√5 + √13 - √10)( √5 + √10 - √13))=0,25√((√13 + √10)² - 5)(√5 + √13 - √10)( √5 - (√13 - √10))=0,25√((√13 + √10)² - 5)( 5 - (√13 - √10)²)=0,25√((13 + 10 + 2√130 - 5)( 5 - 13-10 + 2√130))=0,25√((18 + 2√130)(2√130-18))=0,25√(4·130 - 324)= 0,25√(520 - 324)= 0,25√196 = 0,25·14 = 3,5 см².
Можно ещё через высоты треугольников площадь вычислить, а также с использованием формулы площади ортогональной проекции. Я выбрал формулу Герона, чтобы показать как можно преобразовывать иррациональные выражения.
ВК=BD*sin(BDA)
С другой стороны, AD = AC / 2 = BD / cos(BDA) => AC = 2 * BD / cos(BDA)
Площадь S треугольника АВС:
S = ВК*АС / 2 = ВК*АD = BD*sin(BDA) * BD / cos(BDA) = BD^2 * tg(BDA)
tg(BDA) = S / BD^2; 1 / cos(BDA) = корень (1 + tg^2(BDA)) = корень (1 + S^2 / BD^4)
Таким образом,
AC = 2 * BD / cos(BDA) = 2 * BD * корень (1 + S^2 / BD^4)
АС = 2 * 3 * корень (1 + 12^2 / 3^4) = 6 * корень (1 + 144 / 81) = 6 * корень (225 / 81) = 6 * 15 / 9 = 10.
Из ΔАВС (∠А = 90°): ВС = √(АВ² + АС²) = √(9 + 4) = √13 см
Из ΔАDВ (∠А = 90°): ВD = √(АВ² + АD²) = √(1 + 4) = √5 см
Из ΔАDC (∠А = 90°): CD = √(АC² + АD²) = √(9 + 1) = √10 см
Площадь ΔDВС найдём по формуле Герона
S = √(p(p - DВ)(p - DС)(p - BC)), p = (DВ + DС + BC) : 2 = (√5 + √10 + √13) : 2 см
S = √((√5 + √10 + √13) : 2((√5 + √10 + √13) : 2 - √5)((√5 + √10 + √13) : 2 - √10)((√5 + √10 + √13) : 2 - √13)) = √((√5 + √10 + √13) : 2((√10 + √13 - √5) : 2)((√5 + √13 - √10 ) : 2)(( √5 + √10 - √13) : 2)) =0,25√((√5 + √10 + √13)(√10 + √13 - √5)(√5 + √13 - √10)( √5 + √10 - √13))=0,25√((√13 + √10)² - 5)(√5 + √13 - √10)( √5 - (√13 - √10))=0,25√((√13 + √10)² - 5)( 5 - (√13 - √10)²)=0,25√((13 + 10 + 2√130 - 5)( 5 - 13-10 + 2√130))=0,25√((18 + 2√130)(2√130-18))=0,25√(4·130 - 324)= 0,25√(520 - 324)= 0,25√196 = 0,25·14 = 3,5 см².
Можно ещё через высоты треугольников площадь вычислить, а также с использованием формулы площади ортогональной проекции. Я выбрал формулу Герона, чтобы показать как можно преобразовывать иррациональные выражения.