Высоты остроугольного треугольника abc, про- веденные из вершин a и b, пересекаются в точке h, при- чем ∠ahb = 120◦, а биссектрисы, проведенные из вершин b и c, в точке k, причем ∠bkc = 130◦. найдите угол abc.

∠ABC = 40°

Объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок 1

∠ВА₁Н = 90°, так как АА₁ - высота.

∠АНВ = 120° - внешний угол при вершине Н для ΔА₁ВН

∠АНВ = ∠ВА₁Н + ∠НВА₁ ⇒ ∠НВА₁ = ∠АНВ - ∠ВА₁Н =120° - 90° = 30°.

В ΔВВ₁С  ∠ С = 90° - ∠НВА₁ = 90° - 30° - 60°.

Смотри прикреплённый рисунок 2

В ΔВКС ∠ ВСК = 0,5 ∠С = 0,5 · 60° = 30°, так как СК - биссектриса

По свойству углов треугольника

∠КВС = 180° - (∠ВКС + ∠ВСК) = 180° - (130° + 30°) = 20°.

∠АВС = 2 ∠КВС = 2 · 20° = 40°, так как ВК - биссектриса.

Биссектриса делит угол пополам, поэтому 2·∠KBC=∠ABC и 2·∠KCB=∠ACB.

В ΔKBC:

∠KBC+∠KCB=180°-∠CKB=180°-130°=50°.

В ΔABC:

∠BAC = 180°-(∠ABC+∠ACB) = 180°-(2·∠KBC+2·∠KCB) = 180°-2·50° = 80°

Пусть BB₁ ⊥ AC,  B₁∈AC.

В прямоугольном ΔAB₁B (∠B₁=90°):

∠ABB₁ = 90°-∠B₁AB = 90°-80° = 10°

Пусть AA₁ ⊥ BC,  A₁∈BC.

∠AHB и ∠BHA₁ смежные.

Поэтому ∠BHA₁ = 180°-∠AHB = 180°-120° = 60°

В прямоугольном ΔHA₁B (∠A₁=90°):

∠HBA₁ = 90°-∠BHA₁ = 90°-60° = 30°.

∠ABC = ∠ABH+∠HBA₁ = 10°+30° = 40°

ответ: 40°.