Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 24. точка касания вписанной окружности с боковой стороной делит эту сторону в отношении 5: 8, считая от основания. найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон.

Пусть Р - точка касания вписанной окружности с боковой стороной АС, Е - точка касания с основанием. Тогда АР=5х, РС=8х. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то АЕ=5х. Используя теорему Пифагора для треугольника АСЕ, получим х=2, тогда АС=26, АВ=20, площадь треугольника АВС равна 240. 
Окружности, касающиеся одной из сторон треугольника и продолжений двух других, называются вневписанными. Таких окружностей три (они изображены на прилагаемом рисунке). 
Существуют формулы, выражающие радиусы вневписанных окружностей через стороны треугольника и его площадь, а именно: радиус `r_a` вневписанной окружности, касающейся стороны `a` и продолжений сторон `b` и `c`, равен `r_a=2S/(b+c-a) =S/(p-a)` (p- полупериметр) 
Соответственно радиус `r_b` вневписанной окружности, касающейся стороны `b` и продолжений сторон `a` и `c`, равен `r_a=2S/(a+c-b) =S/(p-b)`, а радиус `r_c` вневписанной окружности, касающейся стороны `c` и продолжений сторон `a` и `b`, равен `r_a=2S/(a+b-c) =S/(p-c)` 
Тогда радиусы вневписанных окружностей для данного треугольника равны 
`R_1=R_2=480/(26+20-26)=24` 
`R_3=480/(26+26-20)=15` 
ответ: 24,24,15 
UPD 
Приведу доказательство вышеупомянутой формулы для окружности, касающейся стороны Ас и продолжений сторон АВ и ВС. Пусть радиус этой окружности `R_1` 
`S_(ABC)=S_(BAO_1)+S_(BCO_1)-S_(ACO_1)=(1/2)*(R_1*AB+R_1*BC-R_1*AC)`. 
Откуда `R_1=(2S)/(AB+BC-AC)`, где `S` - площадь треугольника АВС