Даны координаты вершин треугольника АВС: A(4,-4), В (6;2), С(-1;8).
а) Длина стороны АВ = √((6-4)² + (2-(-4))²) = √(4 + 36) = √40.
Вектор АВ = (2; 6).
Уравнение стороны АВ.
АВ: (х - 4)/2 = (у +4)/6 это каноническое уравнение,
6х - 24 = 2у + 8
3х - у - 16 = 0 уравнение общего вида,
у = 3х - 16 уравнение с угловым коэффициентом, к = 3.
б) Уравнение высоты СН;
к(СН) = -1/к(АВ) = -1/3.
у(СН) = (-1/3)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С, принадлежащей этой прямой.
8 = (-1/3)*(-1) + в, в = 23/3, отсюда уравнение СН: у = (-1/3)х + (23/3).
Или в общем виде х + 3у - 23 = 0.
в) Уравнение медианы АМ.
Находим координаты точки М как середину стороны ВС .
М((6+(-1))/2; (2+8)/2) = (2,5; 5).
Вектор АМ: (2,5-4; 5-(-4) = (-1,5; 9).
Уравнение АМ: (х - 4) / (-1,5) = (у + 4) / 9
Знаменатели умножим на 2 и получим с целыми коэффициентами:
(х - 4) / (-3) = (у + 4) / 18
18х - 72 = -3у - 12
18х + 3у - 60 = 0 или, сократив на 3, АМ: 6х + у - 20 = 0.
у = -6х +20.
г) точку пересечения медианы АМ и высоты СH.
Составляем систему уравнений.
АМ: 6х + у - 20 = 0. |x(-3) = -18x - 3y + 60 = 0.
СН: х + 3у - 23 = 0. х + 3у - 23 = 0.
-17x + 37 = 0
x = 37/17 ≈ 2,17647.
y = 20 - 6x = 20 - (6*37/17) = 118 / 17 ≈ 6,94118.
д) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно стороне AB.
С (-1; 8), А(4;-4) B(6;2). Прямую обозначим СК. Угловой коэффициент к(СК) = к(АВ).
СК: у = 3х + в. Подставим координаты точки С.
8 = 3*(-1) + в, в = 8 + 3 = 11.
СК: у = 3х + 11.
e) Расстояние от точки С до прямой АВ. Это модуль высоты СН.
Находим координаты точки Н как точки пересечения СН и АВ.
АВ: 3х - у - 16 = 0. |x3 = 9х - 3у - 48 = 0
10x - 71 = 0.
х(Н) = 71/10 = 7,1.
у(Н) = 3x - 16 = 3*7,1 - 16 =5,3.
Вектор СН = (7,1 - (-1); 5,3 - 8) = (8,1; -2,7).
Модуль СН = √((8,1)² + (-2,7²) = √72,9 ≈ 8,53815.
дано: решение
c = 17 (см) p = a + b + c
a = x пусть катет a = x, тогда катет b = x - 7
b = x - 7 так как треугольник прямоугольный, то
x мы найдем по теореме пифагора:
p - ? c² = x² + (x - 7)²
17² = x² + x² - 14x + 49
2x² - 14x + 49 - 289 = 0
2x² - 14x - 240 = 0
d₁ = 7² - 2 * (-240) = 49 - (-480) = 529
d₁ > 0, уравнение имеет 2 корня.
x₁ = -(-7) + √529 / 2 = 7 + 23 / 2 = 30 / 2 = 15
x₂ = -(-7) - √529 / 2 = 7 - 23 / 2 = -16 / 2 = -8
второй корень уравнение не подойдет, т.к он имеет отрицательное значение, а длина не может быть отрицательным числом, значит x = 15.
a = 15
b = 15 - 7 = 8
p = 17 + 15 + 8 = 40 (см)
ответ: p = 40 (см)
Даны координаты вершин треугольника АВС: A(4,-4), В (6;2), С(-1;8).
а) Длина стороны АВ = √((6-4)² + (2-(-4))²) = √(4 + 36) = √40.
Вектор АВ = (2; 6).
Уравнение стороны АВ.
АВ: (х - 4)/2 = (у +4)/6 это каноническое уравнение,
6х - 24 = 2у + 8
3х - у - 16 = 0 уравнение общего вида,
у = 3х - 16 уравнение с угловым коэффициентом, к = 3.
б) Уравнение высоты СН;
к(СН) = -1/к(АВ) = -1/3.
у(СН) = (-1/3)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С, принадлежащей этой прямой.
8 = (-1/3)*(-1) + в, в = 23/3, отсюда уравнение СН: у = (-1/3)х + (23/3).
Или в общем виде х + 3у - 23 = 0.
в) Уравнение медианы АМ.
Находим координаты точки М как середину стороны ВС .
М((6+(-1))/2; (2+8)/2) = (2,5; 5).
Вектор АМ: (2,5-4; 5-(-4) = (-1,5; 9).
Уравнение АМ: (х - 4) / (-1,5) = (у + 4) / 9
Знаменатели умножим на 2 и получим с целыми коэффициентами:
(х - 4) / (-3) = (у + 4) / 18
18х - 72 = -3у - 12
18х + 3у - 60 = 0 или, сократив на 3, АМ: 6х + у - 20 = 0.
у = -6х +20.
г) точку пересечения медианы АМ и высоты СH.
Составляем систему уравнений.
АМ: 6х + у - 20 = 0. |x(-3) = -18x - 3y + 60 = 0.
СН: х + 3у - 23 = 0. х + 3у - 23 = 0.
-17x + 37 = 0
x = 37/17 ≈ 2,17647.
y = 20 - 6x = 20 - (6*37/17) = 118 / 17 ≈ 6,94118.
д) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно стороне AB.
С (-1; 8), А(4;-4) B(6;2). Прямую обозначим СК. Угловой коэффициент к(СК) = к(АВ).
СК: у = 3х + в. Подставим координаты точки С.
8 = 3*(-1) + в, в = 8 + 3 = 11.
СК: у = 3х + 11.
e) Расстояние от точки С до прямой АВ. Это модуль высоты СН.
Находим координаты точки Н как точки пересечения СН и АВ.
СН: х + 3у - 23 = 0. х + 3у - 23 = 0.
АВ: 3х - у - 16 = 0. |x3 = 9х - 3у - 48 = 0
10x - 71 = 0.
х(Н) = 71/10 = 7,1.
у(Н) = 3x - 16 = 3*7,1 - 16 =5,3.
Вектор СН = (7,1 - (-1); 5,3 - 8) = (8,1; -2,7).
Модуль СН = √((8,1)² + (-2,7²) = √72,9 ≈ 8,53815.
дано: решение
c = 17 (см) p = a + b + c
a = x пусть катет a = x, тогда катет b = x - 7
b = x - 7 так как треугольник прямоугольный, то
x мы найдем по теореме пифагора:
p - ? c² = x² + (x - 7)²
17² = x² + x² - 14x + 49
2x² - 14x + 49 - 289 = 0
2x² - 14x - 240 = 0
d₁ = 7² - 2 * (-240) = 49 - (-480) = 529
d₁ > 0, уравнение имеет 2 корня.
x₁ = -(-7) + √529 / 2 = 7 + 23 / 2 = 30 / 2 = 15
x₂ = -(-7) - √529 / 2 = 7 - 23 / 2 = -16 / 2 = -8
второй корень уравнение не подойдет, т.к он имеет отрицательное значение, а длина не может быть отрицательным числом, значит x = 15.
a = 15
b = 15 - 7 = 8
p = 17 + 15 + 8 = 40 (см)
ответ: p = 40 (см)