Высота цилиндра равна 6, а радиус основания 5. Концы отрезка длиной 10 лежат на окружностях нижнего и верхнего оснований. Найдите наименьшее расстояние от этого отрезка до оси цилиндра.

Пусть куб KMNPK1M1N1P1 имеет вершины
K(0,0,0) M(0,1,0) P(1,0,0) K1(0,0,1) этого достаточно, остальные вершины для определения куба не важны - они "сами собой" занимают своё место  M1(0,1,1) N(1,1,0) P1(1,0,1) N1 (1,1,1) (разумеется, таким образом я определил систему координат XYZ)
Все это преамбула, "подготовка площадки". Вот теперь решение.
Пусть точкам присвоены ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ обозначения
K1 <=> C; M <=> D; P <=> A; N1 <=> B;
тогда ABCD - правильный тетраэдр. У него все грани - равносторонние треугольники.
Плоскость ACD - это плоскость, проходящая через точки (1,0,0) (0,1,0) и (0,0,1), её уравнение x + y + z = 1;
то есть нормальный вектор (1,1,1).
Плоскость, проходящая через точки C(0,0,1) B(1,1,1) и E(1/2,1/2,0)
имеет еще более простое уравнение x = y;
нормальный вектор (1, -1, 0)
угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами, то есть надо найти угол между векторами (1,1,1) и (1,-1,0); их скалярное произведение равно 0, значит они перпендикулярны.

Между прочим, это можно было заметить сразу, поскольку диагональное сечение куба - плоскость BCE содержит прямую, перпендикулярную плоскости ACD - это AB, вектор AB совпадает с вектором, нормальным к ACD - это (1,1,1)

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC.
Центр основания - точка О пересечения медиан треугольника основания.
В боковой грани SСB проведём апофему SД.
Тогда двугранный угол наклона боковой грани к основанию измеряется плоским углом SДО.
Расстояние от центра основания до боковой грани - это перпендикуляр ОК  на апофему SД.
Высота пирамиды SО = Н = 2/sin(90°-60°) = 2/0,5 = 4 см.
Отрезок ОД = 2/sin60° = 2*2/√3 = 4/√3 см.
Медиана основания АД (она же и высота и биссектриса угла основания) равна трём отрезкам ОД по свойству медиан.
АД = 3*(4/√3) = 12/√3 = 4√3 см.
Сторона основания а = АД/cos30° = (4√3)/(√3/2) = 8 см.
Периметр основания Р = 3а = 3*8 = 24 см.
Апофема А = Н/sin60° = 4/(√3/2) = 8/√3 см.
Боковая поверхность пирамиды равна:
 Sбок = (1/2)Р*А = (1/2)*24*(8/√3) = 96/√3 = 32√3 см².