1. Даны точки А(2;0;-1), В(3;1;-2), С(4;-7;2), Д(1;4;-5). Найти: а) координаты векторов АВ и СД. б) Вектор 2АВ – CD.  в) косинус угла между векторами АВ и СД. 2. При каком значении п векторы АВ и CD будут перпендикулярны, если А(1;0;1), В(-2;3;0), С(4;6;п), Д(п;6;-8). 3. Даны точки с координатами Р(4;-1;2), К(3;0;-1), М(1;-6;8). Найдите координаты точки С, чтобы вектора РК и МС были равны. Решение. а) Координаты вектора АВ: AB{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{1;1;-7}. Координаты вектора CD: CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{-3;11;-1}. б) Разность векторов 2АВ-СD равна вектору (2АВ-СD ){2Xab-Xcd;2Yab-Ycd;2Zab-Zcd} или(2АВ-СD ){5;-9;-13}. в) Cos(AB,CD)=скалярное произведение векторов АВ и СD, деленное на произведение их модулей.Cosα=(Xab*Xcd+Yab*Ycd+Zab*Zcd)/|AB|*|CD| или Cosα=(-3+11+7)/[√(1+1+49)*√(9+121+1)=15/√6681≈15/81,7≈0,184. 2. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. (Xab*Xcd+Yab*Ycd+Zab*Zcd)=0 Координаты вектора АВ: AB{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{-3;3;-1}. Координаты вектораCD: CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{п-4;0;-8-п}. Тогда -3п+0+8+п=0, отсюда п=4. 3. Вектора равны, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и равны по модулю. Вектора коллинеарны, если найдется такое число k, что Xa/Xb=Ya/Yb=Za/Zb=k. Или (Xk-Xp)/(Xc-Xm)=(Yk-Yp)/(Yc-Ym)=(Zk-Zp)/(Zc-Zm)=k. Вектор РК{Xk-Xp=-1;Yk-Yp=1;Zk-Zp=-3} его длина (модуль) |PK|=√(1+1+9)=√11. Возьмем k=1 (так как вектора должны быть сонаправлены и равны по модулю). Тогда Xc-Xm=-1, Yc-Ym=1, Zc-Zm=-3. Отсюда Xc=0, Yc=-5,Zc=5. Проверим: вектор MC{0-1;-5+6;5-8}, его длина (модуль): |МС|=√(-1)²+1²+(-3)²]=√11. Модули векторов РК и МС равны, вектора РК и МС коллинеарны (k=1). Итак, векторы равны при координатах точки С(0;-5;5).
Найти: а) координаты векторов АВ и СД. б) Вектор 2АВ – CD.  в) косинус угла между векторами АВ и СД.
2. При каком значении п векторы АВ и CD будут перпендикулярны, если А(1;0;1), В(-2;3;0), С(4;6;п), Д(п;6;-8).
3. Даны точки с координатами Р(4;-1;2), К(3;0;-1), М(1;-6;8). Найдите координаты точки С, чтобы вектора РК и МС были равны.
Решение.
а) Координаты вектора АВ: AB{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{1;1;-7}.
Координаты вектора CD: CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{-3;11;-1}.
б) Разность векторов 2АВ-СD равна вектору
(2АВ-СD ){2Xab-Xcd;2Yab-Ycd;2Zab-Zcd} или(2АВ-СD ){5;-9;-13}.
в) Cos(AB,CD)=скалярное произведение векторов АВ и СD, деленное на произведение их модулей.Cosα=(Xab*Xcd+Yab*Ycd+Zab*Zcd)/|AB|*|CD| или Cosα=(-3+11+7)/[√(1+1+49)*√(9+121+1)=15/√6681≈15/81,7≈0,184.
2. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. (Xab*Xcd+Yab*Ycd+Zab*Zcd)=0 Координаты вектора АВ: AB{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{-3;3;-1}.
Координаты вектораCD: CD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{п-4;0;-8-п}. Тогда -3п+0+8+п=0, отсюда п=4.
3. Вектора равны, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и равны по модулю.
Вектора коллинеарны, если найдется такое число k, что Xa/Xb=Ya/Yb=Za/Zb=k.
Или (Xk-Xp)/(Xc-Xm)=(Yk-Yp)/(Yc-Ym)=(Zk-Zp)/(Zc-Zm)=k.
Вектор РК{Xk-Xp=-1;Yk-Yp=1;Zk-Zp=-3} его длина (модуль) |PK|=√(1+1+9)=√11.
Возьмем k=1 (так как вектора должны быть сонаправлены и равны по модулю).
Тогда Xc-Xm=-1, Yc-Ym=1, Zc-Zm=-3. Отсюда Xc=0, Yc=-5,Zc=5.
Проверим: вектор MC{0-1;-5+6;5-8}, его длина (модуль):
|МС|=√(-1)²+1²+(-3)²]=√11.
Модули векторов РК и МС равны, вектора РК и МС коллинеарны (k=1).
Итак, векторы равны при координатах точки С(0;-5;5).
Расстояние от точки до плоскости равно длине отрезка, проведенного перпендикулярно к этой плоскости.
Проведем через ребро SC и высоту пирамиды плоскость перпендикулярно плоскости ASB.
SM⊥АВ и СМ⊥АВ. Отрезок СН лежит в плоскости MSC, он перпендикулярен линии пересечения плоскостей SM ⇒
CH перпендикулярен плоскости ASB
Искомое расстояние равно длине СН.
Основание правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник. Все его стороны равны, все углы равны 60°⇒
1) СМ=АС•sin60°=2√3•√3:2=3
2) SM=√(SA²-AM²)
AM=AB:2=√3
SM=√(9-3) =√6
3) SO=√(SM²-OM²)
OM=CM:3 =1( медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1)
SO=√(6-1)=√5
4) sin ∠SMC=SO:SM=√5:√6
5) CH=CM•sin SMC=3•√5:√6=(√5•√2•√3):2=√15:√2 или √(15/2)