Вычислить площадь треугольника если одна из его сторон 7 см, а высота проведенная к ней 6 см

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.

Даны вершины треугольника: А(1;-3;4), В(2;-2;5), C(3;1;3).

Находим векторы и их модули.

АВ = (1; 1; 1), |AB| = √(1² + 1² + 1²) = √3.

BC = (1; 3; -2), |AB| = √(1² + 3² + (-2)²) = √14.

АC = (2; 4; -1), |AB| = √(2² + 4² + (-1)²) = √21.

Косинусы углов находим по формуле:

    cos A = (b² + c² - a²)/(2bc).

Вот результаты расчёта:

Треугольник АВС      

a(ВС) b(АС) c(АВ) p 2p S

3,741657387 4,582575695 1,732050808 5,028141945 10,05628389 3,082207001

14 21 3    

1,286484558 0,44556625 3,296091137 1,889365914 9,5 3,082207001

cos A = 0,629941       cos B = -0,308607       cos С = 0,933139

Аrad = 0,889319       Brad = 1,884524         Сrad = 0,367749

Аgr = 50,954246    Bgr = 107,975284      Сgr = 21,07047.