Внешняя точка - C, центр большой окружности - O пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры; ok ∩ mn = L проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B. OK ⊥ AB по св-у касательной OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno) таким образом ab || mn значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn = = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними)) большая окружность - вневписанная для Δabc => cn = cm = полупериметру пусть сторона abc = a тогда cm = 1.5a ca / cm = 2 / 3 mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3 ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3 S = p * r = a²√3 / 4 r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 = 12 * 3 / 6 = 6 Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π ответ: 12π
В1В=ВС1(так как стороны в ромбе равны, а В1 и С1 их середины) => В1ВС1 -равнобедренный => угВВ1С1=угВС1В1=а В треугольниках ВВ1С1 и А1Д1Д В1В=А1Д (так как стороны в ромбе равны, а В1 и А1 их середины) ДД1=ВС1 (так как стороны в ромбе равны, а Д1 и С1 их середины0 угВ=угД(так как противоположные углы ромбы равны) Отсюда ВВ1С1=А1Д1Д => угД1А1д=угА1Д1д=угВВ1С1=угВС1В1=а а=(180-х)/2(По теореме о сумме углов в равнобедренном В1ВС1) Анологично и
В треугольниках АВ1А1 и СС1Д1 В1А=С1С (так как стороны в ромбе равны, а В1 и С1 их середины) АА1=СД1 (так как стороны в ромбе равны, а Д1 и А1 их середины0 угА=угС(так как противоположные углы ромбы равны) Отсюда АВ1А1=СС1Д1 => угАВ1А1=угСС1Д1д=угС1Д1С=угВ1А1А=в
в=(180-у)/2(По теореме о сумме углов в равнобедренном В1АА1) Но мы знаем, что сумма двух непротивоположных углов в ромбе равна 180:
х+у=180 тогда а+в=90-0.5х+90-0.5у=180-0.5(х+у)=90 Теперь можно найти угол А1В1С1=180-(а+в)=90; В1А1Д1=180-(а+в)=90 ЗНАЧИТ а1в1с1д1 - прямоугольник = В1С1=В1А1=С1Д1=Д1А1, а такж и отрезки разделенные серединами равны
В треугольнике В1ВС1, В1С2- будет медианой, высотой и биссектрисой, тогда имеем в прямоугольном В1ВВС2, В1С2=cosa*B1B=1.75*сosa
ТАКЖЕ и в АВ1В2, В1В2=1.75cosb=1.75sina(т к а+в=90) теперь наконец рассмотрим прямоугольный В2В1С2 по т пифагора
пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры;
ok ∩ mn = L
проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B.
OK ⊥ AB по св-у касательной
OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno)
таким образом ab || mn
значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn = = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними))
большая окружность - вневписанная для Δabc
=> cn = cm = полупериметру
пусть сторона abc = a
тогда cm = 1.5a
ca / cm = 2 / 3
mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3
ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a
осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3
S = p * r = a²√3 / 4
r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 = 12 * 3 / 6 = 6
Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π
ответ: 12π
Интересная задача.В1В=14:4:2=1.75
В1В=ВС1(так как стороны в ромбе равны, а В1 и С1 их середины) => В1ВС1 -равнобедренный => угВВ1С1=угВС1В1=а
В треугольниках ВВ1С1 и А1Д1Д
В1В=А1Д (так как стороны в ромбе равны, а В1 и А1 их середины)
ДД1=ВС1 (так как стороны в ромбе равны, а Д1 и С1 их середины0
угВ=угД(так как противоположные углы ромбы равны)
Отсюда ВВ1С1=А1Д1Д => угД1А1д=угА1Д1д=угВВ1С1=угВС1В1=а
а=(180-х)/2(По теореме о сумме углов в равнобедренном В1ВС1)
Анологично и
В треугольниках АВ1А1 и СС1Д1
В1А=С1С (так как стороны в ромбе равны, а В1 и С1 их середины)
АА1=СД1 (так как стороны в ромбе равны, а Д1 и А1 их середины0
угА=угС(так как противоположные углы ромбы равны)
Отсюда АВ1А1=СС1Д1 => угАВ1А1=угСС1Д1д=угС1Д1С=угВ1А1А=в
в=(180-у)/2(По теореме о сумме углов в равнобедренном В1АА1)
Но мы знаем, что сумма двух непротивоположных углов в ромбе равна 180:
х+у=180 тогда
а+в=90-0.5х+90-0.5у=180-0.5(х+у)=90
Теперь можно найти угол А1В1С1=180-(а+в)=90; В1А1Д1=180-(а+в)=90 ЗНАЧИТ а1в1с1д1 - прямоугольник = В1С1=В1А1=С1Д1=Д1А1, а такж и отрезки разделенные серединами равны
В треугольнике В1ВС1, В1С2- будет медианой, высотой и биссектрисой, тогда имеем в прямоугольном В1ВВС2, В1С2=cosa*B1B=1.75*сosa
ТАКЖЕ и в АВ1В2, В1В2=1.75cosb=1.75sina(т к а+в=90)
теперь наконец рассмотрим прямоугольный В2В1С2 по т пифагора
P=4*В2С2=7см
ответ 7 см