Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=5√3,BC=5, KD=10.Найти радиус окружности.
* * * AD и BC основания трапеции * * *
решение : Фактически нужно определить радиус окружности около трапеции KBCD. Очевидно трапеция равнобедренная ⇒ BK = DC и ∡BKD + ∡DCB =180°. Необходимо определить некоторые ее элементы
AB / DB = AK / DC = DC/ BC ; DC =√AK*BC = √5*5 = 5
AB / DB = AK / DC ⇒ DB = AB*DC/AK =5√3 *5/5 = 5√3 .
Все : ΔBCD || ΔBKD || определены однозначно с тремя сторонами
Вычислить радиус окружности не представляет трудности _
в крайнем случае можно применить формулу R = abc/4S , где
S =√p(p-a)(p-b)(p-c) ( площадь по формуле Герона ).
Но в данной задаче можно заметить ,что центр O окружности совпадает со серединой отрезка KD. R =OK=OD = 5 учитывая ,что KO =DO =5= BC ⇒ четырехугольники KBCO , BCDO параллелограмм поэтому OK =DC =OB и OD=KB =OC
* * * Расчет длины радиуса еще и упрощается ввиду того , что Δ BCD оказался прямоугольным ,по обратной теореме Пифагора :
AB² +BD² =5² +(5√3)² =100 =10² = KD² . || R =5 ||
* * * не так трудно радиус определить из равнобедренного ΔBKD со сторонами BC=CD=5 ; BD=5√3 * * *
B2. Дан ΔABC, точка M — середина стороны AB, точка N — середина стороны BC,
= 60. Найти 
.
MN || AB, MN =
AB ⇒ ∠BMN = ∠BAC ⇒ ΔBMN подобный ΔBAC.
ответ:
= 80 ед. кв.
B3. AK — биссектриса ΔABC, АВ = 4, ВК = 2, КС = 3. Найти периметр ΔABC.
Биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам:
P = AB+AC+(BK+CK)
P = 4+6+(2+3) = 15
ответ: Периметр ΔАВС равен 15.
B4. Площадь прямоугольного ΔABC равна 360 см², АС:ВС = 3:4. Из середины гипотенузы восстановлен перпендикуляр КМ. Найти площадь ΔMKC.
BK = CK =
BC
∠ABC = ∠KMC ⇒ ΔCKM и ΔCAB подобны по двум углам и пропорциональной стороне.
ответ:
= 160 см².
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что AB=5√3,BC=5, KD=10.Найти радиус окружности.
* * * AD и BC основания трапеции * * *
решение : Фактически нужно определить радиус окружности около трапеции KBCD. Очевидно трапеция равнобедренная ⇒ BK = DC и ∡BKD + ∡DCB =180°. Необходимо определить некоторые ее элементы
1.
AB²=AD*AK ( известная теорема)
* * * ΔABK ~ ΔADB * * *
AB²=(AK+KD) *AK || AK =x > 0 ||
x(x+10) =(5√3)² ⇔ x² + 10x - 75 =0 ( корни разного знака )
x₁ = - 15 _посторонний , x₂ = 5 теорема Виета ИЛИ x₁, ₂ = -5 ± 10
AK = 5
2.
ΔABK ~ ΔDBC (по второму признаку )
(∡ABK = ◡ BK/2 = ∡BDK = ∡DBC и ∡AKB=180°- ∡BKD = ∡DCB )
AB / DB = AK / DC = BK/ BC ⇔ ( учитывая BK = DC)
AB / DB = AK / DC = DC/ BC ; DC =√AK*BC = √5*5 = 5
AB / DB = AK / DC ⇒ DB = AB*DC/AK =5√3 *5/5 = 5√3 .
Все : ΔBCD || ΔBKD || определены однозначно с тремя сторонами
Вычислить радиус окружности не представляет трудности _
в крайнем случае можно применить формулу R = abc/4S , где
S =√p(p-a)(p-b)(p-c) ( площадь по формуле Герона ).
Но в данной задаче можно заметить ,что центр O окружности совпадает со серединой отрезка KD. R =OK=OD = 5 учитывая ,что KO =DO =5= BC ⇒ четырехугольники KBCO , BCDO параллелограмм поэтому OK =DC =OB и OD=KB =OC
* * * Расчет длины радиуса еще и упрощается ввиду того , что Δ BCD оказался прямоугольным ,по обратной теореме Пифагора :
AB² +BD² =5² +(5√3)² =100 =10² = KD² . || R =5 ||
* * * не так трудно радиус определить из равнобедренного ΔBKD со сторонами BC=CD=5 ; BD=5√3 * * *