Можно пристроить к кубу ABCDA1B1C1D1 другой такой же куб следующим образом. Продлим ребра А1А, В1В, С1С, D1D за точки А,В,С,D. на длину ребра куба и через полученные точки A2,B2,C2,D2 проведем плоскость II АВС. Ясно, что я просто "приставил снизу" еще один куб, идентичный исходному.
Очевидно, что А2С II AC1, поэтому угол между СЕ и АС1 равен углу А2СЕ.
Замкнем треугольник А2СЕ, проведя А2Е в плоскости А2А1D1D2.
В треугольнике А2СЕ очень просто вычисляются все стороны.
A2C = √3; (это - диагональ куба, ребро принимаем за единицу длины, то есть ребро куба 1).
из прямоугольного тр-ка А2ЕD2 с катетами A2D2 = 1; D2E = 3/2; находим
А2Е = √(1^2+(3/2)^2) = √13/2;
аналогично из треугольника DCE
CЕ = √(1 + (1/2)^2) = √5/2;
Обозначим косинус угла А2СЕ как х. По теореме косинусов
б) Искомое расстояние - длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ.
Т.к. АМ=МS; АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ.
∆ КАЕ - равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС.
АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5
∆ КМЕ - равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО.
АО=АТ:2=√5
МО=√(МА² +АО² )=5/2
В прямоугольном ∆ МАО отрезок АН - высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников).
Из подобия следует отношение:
АН:АМ=АО:МО
АН:[(√5):2]=√5: 5/2 ⇒ АН=1
а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).
МО - средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам.
Можно пристроить к кубу ABCDA1B1C1D1 другой такой же куб следующим образом. Продлим ребра А1А, В1В, С1С, D1D за точки А,В,С,D. на длину ребра куба и через полученные точки A2,B2,C2,D2 проведем плоскость II АВС. Ясно, что я просто "приставил снизу" еще один куб, идентичный исходному.
Очевидно, что А2С II AC1, поэтому угол между СЕ и АС1 равен углу А2СЕ.
Замкнем треугольник А2СЕ, проведя А2Е в плоскости А2А1D1D2.
В треугольнике А2СЕ очень просто вычисляются все стороны.
A2C = √3; (это - диагональ куба, ребро принимаем за единицу длины, то есть ребро куба 1).
из прямоугольного тр-ка А2ЕD2 с катетами A2D2 = 1; D2E = 3/2; находим
А2Е = √(1^2+(3/2)^2) = √13/2;
аналогично из треугольника DCE
CЕ = √(1 + (1/2)^2) = √5/2;
Обозначим косинус угла А2СЕ как х. По теореме косинусов
13/4 = 3+5/4 - x*2*√(5*3)/2;
x = 1/√15 = √15/15; это - косинус искомого угла.
б) Искомое расстояние - длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ.
Т.к. АМ=МS; АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ.
∆ КАЕ - равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС.
АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5
∆ КМЕ - равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО.
АО=АТ:2=√5
МО=√(МА² +АО² )=5/2
В прямоугольном ∆ МАО отрезок АН - высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников).
Из подобия следует отношение:
АН:АМ=АО:МО
АН:[(√5):2]=√5: 5/2 ⇒ АН=1
а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).
МО - средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам.