Выберите верное утверждение:
1. Угол, вершина которого лежит в центре окружности называется
А) центральным
Б) вписанным
В) описанным

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется
А) центральным
Б) вписанным
В) описанным

3. Выберите верное утверждение:
А) Вписанный угол равен дуге, на которую он опирается
Б) Центральный угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу
В) Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу

Запишите только правильный ответ

4. Чему равен центральный угол, если дуга, на которую он опирается, равна 800?

5. Чему равен вписанный угол, если дуга, на которую он опирается, равна 500?

6. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, угол А=700, угол С=300. Чему равна градусная мера дуги АС.
Запишите решение задачи
7. Центральный угол АОВ (где О центр окружности) на 400 больше вписанного угла, опирающего на АВ. Чему равна величина вписанного угла, опирающегося на дугу АВ.
8. В окружности с центром О, АС и ВД диаметры. Вписанный угол АСВ равен 380. Чему равен центральный угол АОД.
9. Хорда АВ делит окружность на 2 части, градусные меры которых относятся как 7 : 29. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принадлежащей меньшей дуге окружности (т.е. градусную меру угла АСВ).

PQ = q; KP = HQ = p; пусть ∠BDC = Ф; он же равен Ф = ∠DMK = ∠FKB;

DM II AC; очевидно, что DM = q, так как EQ = q/2; -средняя линия треугольника BMD; =>

DK = q*sin(Ф); при этом DK*sin(Ф) = FK = x/2; где x = HK; искомый отрезок.

=>x/(2q) = (sin(Ф))^2;

(далее по ходу решения эту величину будет удобно принять за новую неизвестную, но к тому времени уже не важна будет её связь с углами и синусами )

Из треугольников HQL и KQL

HQ^2 - KQ^2 = HL^2 - KL^2;

HL = (x + q)/2; KL = (x - q)/2; (ну, я надеюсь, этого объяснять не надо)

KQ = KL/cos(Ф);

=> p^2 - (x/2- q/2)^2/(cos(Ф))^2 = (x/2 + q/2)^2 - (x/2 - q/2)^2 = xq;

(cos(Ф))^2 = 1 - (sin(Ф))^2 = 1 - x/(2q);

Окончательно

p^2 - (x - q)^2/(4*(1 - x/(2q))) = xq;

это уравнение уже пригодно для решения, но для упрощения я ввожу t = x/(2q); a = (p/q)^2; тогда это уравнение легко приводится к такому виду

t^2 - (1 + a)*t + a - 1/4 = 0;

Я выделю полный квадрат (чтобы не писать здоровенные корни), а потом сразу напишу ответ для x без выбора знака.

(t - (1 + a)/2)^2 = (1 + a)^2/4 - a + 1/4 = ((1 - a)^2 + 1)/4;

x = q*(1 + a +- √((1 - a)^2 + 1)); где a = (p/q)^2;

Чтобы понять, какой знак надо выбрать, я рассмотрел очевидный частный случай Ф = 60°; кстати, именно он изображен на рисунке.

В этом случае x = 3q/2; a = 7/4 (сосчитайте! надо же и вам что-то сделать :) даю подсказку - треугольники PQB и HKB равносторонние со сторонами q и x = 3q/2; соответственно, а p^2 находится из треугольника QHB по теореме косинусов), и нужным знаком оказался "минус".

Поэтому x = q*(1 + a - √((1 - a)^2 + 1)); где a = (p/q)^2;

Ну, вы сами попросили :)

Длина средней линии равна 18.

Объяснение:

Поскольку трапеция равнобедренная, то диагонали её равны и отрезки диагоналей, примыкающих к основанию АВ равны между собой, так же как отрезки диагоналей примыкающих к основанию СD.

ВК = АК = х и CK = DK = у.

При этом х + у = 36/

∠АКВ = ∠DKC = 60°  (углы вертикальные)

Тогда равнобедренный ΔАКВ, с углом при вершине ∠АКВ = 60° является равносторонним со стороной х. Следовательно, основание АВ трапеции равно х

АВ = х

Аналогично ΔDKC - равносторонний со стороной у. И основание трапеции

CD = у.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

0,5 (АВ + CD) = 0.5 (x + y) = 0.5 · 36 = 18