Продлим BK и BM до пересечения c AC в точках P и Q соответственно. Тогда AK - биссектриса и высота треугольника ABP, а значит ABP - равнобедренный (AB=AP) и AK - его медиана, т.е.BK=PK. Аналогично, для треугольника CBQ, CQ=BC и BM=QM, т.к. CM его высота и биссектриса. Таким образом, MK - средняя линия треугольника QBP, т.е. MK||AC, что доказывает пункт а). CP=AC-AP=AC-AB=10-8=2 AQ=AC-CQ=AC-BC=10-6=4 Значит, QP=AC-CP-AQ=10-2-4=4. Итак, если обозначить через h высоту треугольника ABC, проведенную к AC, то S(KBM)=MK*(h/2)/2=(QP/2)*h/4=QP*h/8. Т.к. ABC - прямоугольный (6^2+8^2=10^2), то h=6*8/10=4,8, т.е. S(KBM)=4*4,8/8=2,4.
В качестве основания берем прямоугольный треугольник со сторонами пусть CA=5 см и CB=10 см ,высота пирамиды будет CD = 7 см , действительно , DC ⊥ CA ;DC ⊥ CB ⇒DC⊥ плоскости (ABC) . V =1/3 *(5*10)/2 *7 =175/3 (см³) . * * * 58 1/3 * * *
Sпол = S(ACD) + S(BCD) +S(ABC)+S(ADB) . S(ACD) =AC*CD/2 =5*7/2 = 17,5 (см²) ; S(BCD) =BC*CD/2 =10*7/2= 35 (см²) ; S(ABC) =AC*BC/2 = 5*10/2 =25 (см²) . Площадь треугольника ADB можно вычислить по формуле Герона (известны AB =√125 ; AD=√74 ; BD =√149 ) , но арифметика скучная ... Поэтому поступаем иначе ; из вершины прямого угля С треугольника ABC проводим высоту CH ⊥ AB и H соединим с вершиной D. AB ⊥ HC ⇒ AB ⊥ HD (HC проекция HD) ,<CHD =α.) S(ABC) =S(ADB)*cosα ⇒ S(ADB)= S(ABC)/cosα =25/cosα. S(ABC) =AC*BC/2 = AB *СН/2 ⇒ СН =5*10/√125 =10/√5 =2√5 . Из ΔHCD по теореме Пифагора CD = √(CH²+CD²) =√((2√5)² +7²) =√69; cosα =CH/CD =2√5/√69 ; S(ADB)= 25/cosα =25√69/2√5 =2,5√345 (см²) . Таким образом окончательно Sпол =(77,5 +2,5√345 ) см².
CP=AC-AP=AC-AB=10-8=2
AQ=AC-CQ=AC-BC=10-6=4
Значит, QP=AC-CP-AQ=10-2-4=4.
Итак, если обозначить через h высоту треугольника ABC, проведенную к AC, то S(KBM)=MK*(h/2)/2=(QP/2)*h/4=QP*h/8. Т.к. ABC - прямоугольный (6^2+8^2=10^2), то h=6*8/10=4,8, т.е. S(KBM)=4*4,8/8=2,4.
пусть CA=5 см и CB=10 см ,высота пирамиды будет CD = 7 см , действительно , DC ⊥ CA ;DC ⊥ CB ⇒DC⊥ плоскости (ABC) .
V =1/3 *(5*10)/2 *7 =175/3 (см³) . * * * 58 1/3 * * *
Sпол = S(ACD) + S(BCD) +S(ABC)+S(ADB) .
S(ACD) =AC*CD/2 =5*7/2 = 17,5 (см²) ;
S(BCD) =BC*CD/2 =10*7/2= 35 (см²) ;
S(ABC) =AC*BC/2 = 5*10/2 =25 (см²) .
Площадь треугольника ADB можно вычислить по формуле Герона (известны AB =√125 ; AD=√74 ; BD =√149 ) , но арифметика скучная ...
Поэтому поступаем иначе ; из вершины прямого угля С треугольника ABC проводим высоту CH ⊥ AB и H соединим с вершиной D.
AB ⊥ HC ⇒ AB ⊥ HD (HC проекция HD) ,<CHD =α.)
S(ABC) =S(ADB)*cosα ⇒ S(ADB)= S(ABC)/cosα =25/cosα.
S(ABC) =AC*BC/2 = AB *СН/2 ⇒ СН =5*10/√125 =10/√5 =2√5 .
Из ΔHCD по теореме Пифагора CD = √(CH²+CD²) =√((2√5)² +7²) =√69;
cosα =CH/CD =2√5/√69 ;
S(ADB)= 25/cosα =25√69/2√5 =2,5√345 (см²) .
Таким образом окончательно
Sпол =(77,5 +2,5√345 ) см².
ответ : ( 77,5 +2,5√345) см² , 175/3 см³.