Втреугольнике abc на стороне bc , как на диаметре построена окружность , пересекающая сторону ba в точке m . найти отношение s треугольника abc и треугольника bcm , если ac = 15 , bc = 20 , угол abc = углу acm.
Треугольник АВС прямоугольный: обозначим равные углы (угол ABC = углу ACM.) за α. Угол ВМС = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Смежный с ним угол АМС = 180 - 90 =90°. Угол ВАС = МАС = 90 - α. Тогда угол ВСА = 180-α-(90-α) = 90°. Высота СМ треугольника АВС равна h = (2√(p(p-a)(p-b)(p-c)) / a или h = 2S / a = 2*((1/2)*15*20) / 25 = 300 / 25 = 12. Сторона а (гипотенуза) равна √(15²+20²) = √625 = 25. Площадь треугольника АВС = (1/2)*15*20= 150. Катет АМ треугольника АМС равен √(15²-12²) = √(225-144) = √81 = 9. Площадь треугольника АМС равна (1/2)*9*12 = =54. Отношение площадей заданных треугольников равно 150/54 = 25 / 9 = 5² / 3² = (5/3)². Этот вывод можно получить из соотношения сторон подобных треугольников: Подобные стороны относятся:к = ВС / СМ = 20 / 12 = 5 / 3. Площади подобных треугольников относятся как квадраты подобных сторон, то есть (5/3)².
обозначим равные углы (угол ABC = углу ACM.) за α.
Угол ВМС = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр.
Смежный с ним угол АМС = 180 - 90 =90°.
Угол ВАС = МАС = 90 - α.
Тогда угол ВСА = 180-α-(90-α) = 90°.
Высота СМ треугольника АВС равна h = (2√(p(p-a)(p-b)(p-c)) / a или h = 2S / a = 2*((1/2)*15*20) / 25 = 300 / 25 = 12.
Сторона а (гипотенуза) равна √(15²+20²) = √625 = 25.
Площадь треугольника АВС = (1/2)*15*20= 150.
Катет АМ треугольника АМС равен √(15²-12²) = √(225-144) = √81 = 9. Площадь треугольника АМС равна (1/2)*9*12 =
=54.
Отношение площадей заданных треугольников равно
150/54 = 25 / 9 = 5² / 3² = (5/3)².
Этот вывод можно получить из соотношения сторон подобных треугольников:
Подобные стороны относятся:к = ВС / СМ = 20 / 12 = 5 / 3.
Площади подобных треугольников относятся как квадраты подобных сторон, то есть (5/3)².