Вравнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного в него круга в отношении 8: 5, начиная от вершины. вычислите (в см) радиус вписанной окружности, если высота треугольника, проведенная к основанию, равна 36 см.

Пусть боковая сторона будет 8х+5х, тогда основание треугольника образованного высотой будет 5х(отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны). Следовательно для этого прямоугольного треугольника мы можем записать (сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы). Если у - высота, у²+25х²=169х; у²=144х²; у=12х. Отсюда, зная длину высоты (36см) мы получаем значения боковых сторон 8*3+5*3=39см; основание 5*3+5*3=30см. Осталось вычислить площадь и периметр, а через них и радиус вписанной окружности или по формуле Герона.
S=1/2*36*30=540
р=30+2*39=108
r=2*S/p=1080/108=10
Радиус вписанной окружности равен 10см.