Вравнобедренном треугольнике abc основание ac=12, ab=bc=8. найти длину биссектрисы угла acb.

Показать ответ

Ответ:

ARMY130613

01.10.2020 12:39

Есть готовая формуле, по ней
$CC_{1}=\frac{\sqrt{12*8(12+8-8)(12+8+8)}}{12+8} = \frac{12\sqrt{14}}{5}$

Решение:
Найдем по теореме косинусов сам угол ACB

$8^2=8^2+12^2-2*8*12*cosACB\\
cosACB=\frac{3}{4}\\
$
так как $CC_{1}$ биссектриса то углы
$BCC_{1}=\frac{arccos\frac{3}{4}}{2}\\
$
теперь пусть $BC_{1}=x\\
AC_{1}=8-x\\
CC_{1}=y$
тогда справедливы такие соотношения
$x^2=8^2+y^2-16y*cos(\frac{arccos\frac{3}{4}}{2})\\
(8-x)^2= 12^2+y^2-24y* cos(\frac{arccos\frac{3}{4}}{2})\\$

Теперь преобразуем $cos(\frac{arccos\frac{3}{4}}{2})\\

$
по формуле половинного аргумента
$cos\frac{a}{2} = \sqrt{ \frac{1+cos(arccos\frac{3}{4})}{2}} =\sqrt{\frac{7}{8}}\\
$
то есть нужно решить систему уравнения
$x^2=64+y^2-16y*\sqrt{\frac{7}{8}}\\
(8-x)^2=144+y^2-24y\sqrt{\frac{7}{8}}\\
\\
(8-x)^2-x^2 = 80-8y\sqrt{\frac{7}{8}}\\
(8-2x)8=80-8y\sqrt{\frac{7}{8}}\\ 
 8-2x=10-y\sqrt{\frac{7}{8}}\\
-2x=2-y\sqrt{\frac{7}{8}}\\
x=\frac{2-y\sqrt{\frac{7}{8}}}{-2}\\

$
подставим это соотношение в любое из уравнений
$(\frac{2-y\sqrt{\frac{7}{8}}}{-2}) ^2=64+y^2-16y* \sqrt{\frac{7}{8}}\\
4-4y \sqrt{\frac{7}{8}}+\frac{7y^2}{8}=4(64+y^2-16y*\sqrt{\frac{7}{8}})\\
$
$4-4y \sqrt{\frac{7}{8}}+\frac{7y^2}{8}=4(64+y^2-16y*\sqrt{\frac{7}{8}})\\
4-4y\sqrt{\frac{7}{8}}+\frac{7y^2}{8}=256+4y^2-64y\sqrt{\frac{7}{8}}\\
252+4y^2-\frac{7y^2}{8}-60y\sqrt{\frac{7}{8}} = 0\\
 \frac{25y^2}{8}-60y\sqrt{\frac{7}{8}} +252=0\\
 D=(3600*7/8)-4*25/8*252=0\\
y=\frac{60* \sqrt{\frac{7}{8}}}{\frac{25}{4}}=\frac{12\sqrt{14}}{5}$