Враховуючи, що косинус гострого кута в прямокутному трикутнику
дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи, і користуючись
рисунком, виберіть значення для косинуса кута С:

Sabc = 5√3 см².

Sabcd = 10√3 см².

Объяснение:

Формула площади треугольника: Sт = (1/2)·a·b·Sinα, где а и b -стороны треугольника, а α - угол между ними. Тогда

Sabc =  (1/2)·2·10·√3/2 = 5√3 см².

Формула площади параллелограмма: Sп = a·b·Sinα, где а и b -стороны треугольника, а α - угол между ними. Тогда

Sabcd =  2·10·√3/2 = 10√3 см².

Или так:

Проведем высоту СН к стороне АВ. Тогда в прямоугольном треугольнике ВСН ∠ ВСН= 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника) и ВН = 1 см, как катет, лежащий против угла 30°.

По Пифагору СН = √(ВС²-ВН²) = √(2²-1²) = √3 см. - высота треугольника АВС и параллелограмма ABCD.

Тогда Sabc = (1/2)·AB·CH = (1/2)·10·√3 = 5√3 см².

Sabcd = AB·CH = 10·√3 см².

Sбок = (3/4)*m²/(√Sin²β -1).  

Объяснение:

Пусть данный нам угол будет не "фи", а β. (для простоты написания).

Проведем перпендикуляры АР и СР к стороне ВS в гранях ASB и CSB соответственно. Угол между двумя соседними боковыми гранями - это угол АРС по определению. Проведем высоту ВК основания АВС. По теореме о трех перпендикулярах РК перпендикулярна АС и является высотой равнобедренного (АР=СР, так как пирамида правильная) треугольника АРС и делит угол АРС пополам.

В прямоугольном треугольнике КРС Sinβ = KC/PC  =>

PC = KC/Sinβ = m/2Sinβ (так как КС = (1/2)·АС = m/2).

В прямоугольном треугольнике СРВ: 

SinB = PC/BC  = (m/2Sinβ)/m = 1/(2Sinβ).

Тогда в прямоугольном треугольнике HSB катет

SH = НВ*tgB.

tgB = SinB/CosB = SinB/(√(1-Sin²B)).   =>

SH = (m/2)*SinB/(√(1-Sin²B)).

Площадь боковой грани равна Sгр = (1/2)*ВС*HS или

Sгр =  (m²/8)*(1/Sinβ)/(√(1-(1/(2Sinβ))²) = m²/(4√Sin²β -1).  Тогда

Sбок = 3*Sгр = (3/4)*m²/(√Sin²β -1).