Впрямоугольный треугольник abc (c = 90") вписана окружность с центром о (рис. 81), d — точка касания окружности со стороной ас. найдите площадь треугольника abc если ad = 6 см, abo= 15*.

Сделаем рисунок. 
 Вокруг любого треугольника можно описать окружность. 
Рассмотрим треугольник  ВНД. 
Он прямоугольный по условию, следовательно, вокруг него  можно описать окружность с центром в точке О радиусом,  равным ВО=ОД - половине его гипотенузы - по свойству  прямоугольного треугольника.   
Т.к. диагонали любого прямоугольника равны и точкой  пересечения делятся пополам, а О - центр окружности, то АС -  также диаметр этой окружности. 
Угол АНС опирается на АС - диаметр окружности.  
Следовательно, он равен 90 градусам.

1. По т. косинусов из треуг. ВСД:
ВД²=ВС²+CD²-2*BC*CD*cos150=4+12+8√3*sin60=16+8√3*√3/2=28
Сумма углов трапеции, прилежащих  боковой стороне равна 180, значит угол Д=180-150=30. В прямоуг. треуг. против угла 30 градусов лежит катет в половину меньший гипотенузы, значит СР=√3.
по т. Пифагора из треуг. СДР: ДР=√(12-3)=√9=3
КД=ВС+ДР=2+3=5
АВ перпендик. ВД, значит треуг. АВД - прямоугольный, а ВК - высота з прямого угла.
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его пр оекцией на гипотенузу.
ВД²=АД*КД=АД*5
28=АД*5
АД=28/5=5,6

2. По теореме косинусов
АВ²=ВС²+АС²-2*ВС*АС*cos135
25=18+AC²+6√2*AC*sin45
AC²+6AC-7=0
По т. Виета AC1=-7 - отрицательное значение не может быть
АС2=1