Впрямом параллелепипеде abcda1b1c1d1 ad=17, dc=28, ac=39. диагональ боковой грани a1d составляет с плоскостю боковой грани dd1c1c угол 45 градусов. найдите площадь полной поверхности параллелепипеда
В прямом параллелепипеде все рёбра перпендикулярны плоскости оснований, боковые грани - прямоугольники, основания - параллелограммы.
Построим угол между А1D и боковой гранью.
Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Опустим перпендикуляр из А1 на плоскость боковой грани DD1C1C и соединим его основание Н с D.
HD- проекция А1D на плоскость грани DD1C1C.
∆ DHA1- прямоугольный равнобедренный, т.к. угол А1DН1=45° по условию, ⇒ катеты НА1 и НD равны.
Катет А1Н перпендикулярен стороне D1C1 и является высотой параллелограмма А1В1С1D1 - основания данного параллелепипеда, проведенной из его острого угла.
Проведем диагональ АС=39 в основании.
По формуле Герона площадь треугольника
S=√(p•(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр треугольника, а, b, c- его стороны. р=42 S ∆ АВС=210.
Площадь параллелограмма в 2 раза больше=420 (ед. площади)
Высота А1Н=S/a=420:28=15
Из ∆ А1НD гипотенуза А1D=A1H:sin45°=15√2
Высота прямого параллелепипеда равна боковому ребру.
Из ∆ АА1D высота АА1=√ (A1D²-AD²)=√(450-289)=√161= ≈ 12,69
Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению высоты на периметр основания.
Sбок=12,69•2•(28+17)= ≈1142,1 (ед. площади)
Sполн=2•420+1142,1= ≈1982,1 (ед. площади)
--------
Нагляднее рисунок получился бы, если ∠А основания был бы тупым. Но вычисления дают диагональ BD=25, поэтому данный рисунок больше соответствует условию.
В прямом параллелепипеде все рёбра перпендикулярны плоскости оснований, боковые грани - прямоугольники, основания - параллелограммы.
Построим угол между А1D и боковой гранью.
Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Опустим перпендикуляр из А1 на плоскость боковой грани DD1C1C и соединим его основание Н с D.
HD- проекция А1D на плоскость грани DD1C1C.
∆ DHA1- прямоугольный равнобедренный, т.к. угол А1DН1=45° по условию, ⇒ катеты НА1 и НD равны.
Катет А1Н перпендикулярен стороне D1C1 и является высотой параллелограмма А1В1С1D1 - основания данного параллелепипеда, проведенной из его острого угла.
Проведем диагональ АС=39 в основании.
По формуле Герона площадь треугольника
S=√(p•(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр треугольника, а, b, c- его стороны. р=42 S ∆ АВС=210.
Площадь параллелограмма в 2 раза больше=420 (ед. площади)
Высота А1Н=S/a=420:28=15
Из ∆ А1НD гипотенуза А1D=A1H:sin45°=15√2
Высота прямого параллелепипеда равна боковому ребру.
Из ∆ АА1D высота АА1=√ (A1D²-AD²)=√(450-289)=√161= ≈ 12,69
Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению высоты на периметр основания.
Sбок=12,69•2•(28+17)= ≈1142,1 (ед. площади)
Sполн=2•420+1142,1= ≈1982,1 (ед. площади)
--------
Нагляднее рисунок получился бы, если ∠А основания был бы тупым. Но вычисления дают диагональ BD=25, поэтому данный рисунок больше соответствует условию.