Вписанная окружность

1. Окружность называется вписанной в многоугольник, если

2. Окружность всегда можно вписать в

а) квадрат г) ромб

б) треугольник д) прямоугольник

в) параллелограмм е) равнобедренную трапецию

3. Можно ли в четырехугольник ABCD со сторонами AB=7, BC=9, CD=8, AD=6 вписать окружность?

4. В четырёхугольник, три стороны которого равны 13, 7, 15, вписана окружность. Найти четвёртую сторону четырёхугольника.

5. Найти площадь треугольника, если его стороны равны 10, 12, 6, а радиус вписанной окружности равен 4.

Разберёмся с чертежом
1) АВСD- параллелограмм, угол А = 60, ВС- меньшая диагональ
Проведём высjту ВH. Получим  прямоугольный Δ с гипотенузой = 8 и углом 60 и  30
Против угла 30 лежит катет АH. Он = 4. Тогда BH = 4√3 ( по т. Пифагора)
HD = 11 (15 - 4)
Из ΔВDH найдём ВD ( по т Пифагора) ВD= 13
2). Теперь берёмся зa диагональное сечение ВDD1B1 Его площадь = произведению дины и ширины
S = DB·DD1
130 = 13·DD1
DD1= 10
3) Sбок = Росн.·DD1=(15 + 8 + 15 + 8)·10 =460
Sосн = 15·8·Sin60= 120√3/2 = 60√3 
4)S = 460 + 120 √3

Раз один из углов 120 град, то это угол вершины треугольника, остальные углы (у основания) составят (180-120):2 = 30 (град.). Мы видим что, если к боковой стороне треугольника провести высоту (а она будет перпендикулярна этой боковой стороне, т. е. составлять с нею 90 град.), то она попадёт на продолжение(!) боковой стороны этого треугольника, и составит угол с основанием 180-30-90= 60(град.) - уже то, что угол, образованный высотой и основанием треугольника больше самого угла основания этого треугольника показывает, что высота не попадает на боковую сторону данного треугольника, а только на её продолжение(!). Но её длину можно найти из свойств соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (т. е. через синус или косинус в данном случае). Два через синус: Высота = 4* синус 30 град = 4* 1/2 = 2 (см); 2) через косинус: 4* косинус 60 град. = 4* 1/2 = 2 (см).