Вокружности с центром о проведены две непараллельные хорды км и рn , причем км= рn. точка а – середина км, точка в – середина р n . докажите, что треугольник аов равнобедренный

Пусть AA1, BB1 и CC1 – биссектрисы треугольника ABC и ∠B = 120°.  На продолжении стороны AB за точку B возьмём точку K. Поскольку

∠A1BK = 180° – 120° = 60° = ∠B1BE, то BA1 – биссектриса угла B1BK, смежного с углом ABB1. Поэтому точка A1 равноудалена от прямых AB и B1B, а так как она лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от прямых AB и CB1. Значит, точка A1 равноудалена от сторон угла BB1C, то есть B1A1 – биссектриса угла BB1C. Аналогично B1C1 – биссектриса угла AB1B.  

Следовательно, (∠AB1B + ∠BB1C) = ½ *180° = 90°.

ABCD трапеция с основаниями BС и АD площадью 20. CK-биссектриса угла С, К принадлежит АD, BC=3, AD=7, CD=5, CK пересекает BD в точке O. Найти площадь треугольника BOC.

Дано: ABCD трапеция , BC || AD ,

S =S(ABCD) =20 , BC =3 , AD =7 , CD =5 ,

∠BCK = ∠DCK     = ∠C /2  ,  

K ∈ [AD] ,  [CK] ∩ [BD] =0                                                                 - - - - - - -                                                                                                                                                               S(ΔBOC) -?

ответ:   2,25  кв. единиц

Объяснение: Через точку O проведем высоту трапеции :  H₁H₂ ⊥ AD

Пусть  H₁H₂ =h  ,  OH₁ =h₁  , OH₂ =h₂ .   h₂  = h  -h₁

 S(ΔBOC) =BC*OH₁/2 = 3*h₁ / 2  

S =S(ABCD) =( (BC+AD)/2 ) *h  ⇒ h=2S/(BC+AD) =2*20/(3+7) = 4

  h₂ = 4 -h₁   _ _ _ _ _ __ _

ΔBOC ~ΔDOK  , поскольку  ∠BCK = ∠DKC и  ∠CBD = ADB   ( как накрест лежащие углы)

BO/DO   =          OH₁/OH₂  

с другой стороны BO/DO= BC/DC  =3/5 ( свойство  биссектриса )                              * * * CO биссектриса угла BCD  в Δ BCD) * * *  

следовательно  3/5 =h₁/(4-h₁)  ⇒  h₁ = 3/2   и

S(ΔBOC) = 3*h₁ /2  =  9/4 .

см приложения